研究者詳細

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タカハシ　ジユンヤ
高橋　淳也
Junya Takahashi
所属
大学院情報科学研究科　システム情報科学専攻　システム情報数理学講座（システム情報数理学Ｉ分野）
職名
助教
学位

  • 博士（数理科学） （東京大学）

所属学協会 1

  • 日本数学会

研究キーワード 7

  • 調和形式

  • L^2 Stokes 定理

  • 楕円型境界値問題

  • リーマン多様体の崩壊

  • 微分形式

  • 固有値

  • ホッジ・ラプラシアン

研究分野 1

  • 自然科学一般 / 幾何学 / 微分幾何学

論文 14

  1. Small eigenvalues of the Hodge-Laplacian with sectional curvature bounded below 査読有り

    Colette Anné, Junya Takahashi

    Annals of Global Analysis and Geometry　68　(1)　1-15　2025年6月

    DOI： 10.1007/s10455-025-10005-4 　

  2. Small eigenvalues of the rough and Hodge Laplacians under fixed volume 査読有り

    Colette Anné, Junya Takahashi

    Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse　33　(1)　123-151　2024年7月

    DOI： 10.5802/afst.1764 　

  3. L2-harmonic forms on incomplete riemannian manifolds with positive Ricci curvature 招待有り 査読有り

    Junya Takahashi

    Mathematics　6　(5)　1-11　2018年5月9日

    出版者・発行元： MDPI AG

    DOI： 10.3390/math6050075 　

    ISSN：2227-7390

  4. Partial collapsing and the spectrum of the Hodge-de Rham operator 査読有り

    Colette Anné, Junya Takahashi

    Analysis & PDE　8　(5)　1025-1050　2015年

    DOI： 10.2140/apde.2015.8.1025 　

    ISSN：1948-206X

  5. p-spectrum and collapsing of connected sums 査読有り

    Colette Anné, Junya Takahashi

    Transactions of the American Mathematical Society　364　(4)　1711-1735　2012年4月

    DOI： 10.1090/S0002-9947-2011-05351-1 　

    ISSN：0002-9947

  6. Collapsing to Riemannian manifolds with boundary and the convergence of the eigenvalues of the Laplacian 査読有り

    Junya Takahashi

    Manuscripta Mathematica　121　(2)　191-200　2006年10月

    DOI： 10.1007/s00229-006-0035-5 　

    ISSN：0025-2611

  7. The gap of the eigenvalues for p-forms and harmonic p-forms of constant length 査読有り

    Junya Takahashi

    Journal of Geometry and Physics　54　(4)　476-484　2005年8月

    DOI： 10.1016/j.geomphys.2004.11.007 　

    ISSN：0393-0440

  8. Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on p-forms 査読有り

    Junya Takahashi

    Mathematische Zeitschrift　250　(1)　43-57　2005年5月

    DOI： 10.1007/s00209-004-0735-z 　

    ISSN：0025-5874

  9. On the gap between the first eigenvalues of the Laplacian on functions and p-forms 査読有り

    Junya Takahashi

    Annals of Global Analysis and Geometry　23　(1)　13-27　2003年3月

    DOI： 10.1023/A:1021294732338 　

    ISSN：0232-704X

  10. Collapsing of connected sums and the eigenvalues of the Laplacian 査読有り

    Junya Takahashi

    Journal of Geometry and Physics　40　(3-4)　201-208　2002年1月

    ISSN：0393-0440

  11. Small eigenvalues on p-forms for collapsings of the even-dimensional spheres 査読有り

    Junya Takahashi

    Manuscripta Mathematica　109　(1)　63-71　2002年

    DOI： 10.1007/s002290200288 　

    ISSN：0025-2611

  12. On the gap between the first eigenvalues of the Laplacian on functions and 1-forms 査読有り

    Junya Takahashi

    Journal of the Mathematical Society of Japan　53　(2)　307-320　2001年4月

    ISSN：0025-5645

  13. Upper bounds for the eigenvalues of the Laplacian on forms on certain Riemannian manifolds 査読有り

    Junya Takahashi

    Journal of the Mathematical Sciences, the University of Tokyo　6　(1)　87-99　1999年1月

    出版者・発行元： 東京大学

    ISSN：1340-5705

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    We have two kinds of upper bounds of the eigenvalues of the Laplacian on forms on compact Riemannian manifolds. One is implicit in terms of the Ricci curvature and the injective radius. The other is explicit for a class of Riemannian manifolds.

  14. The first eigenvalue of the Laplacian on p-forms and metric deformations 査読有り

    Junya Takahashi

    Journal of the Mathematical Sciences, the University of Tokyo　5　(2)　333-344　1998年4月1日

    出版者・発行元： 東京大学

    ISSN：1340-5705

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    We prove that the limits of the first eigenvalues of functions and $1$-forms for modified Gentile-Pagliara's metric deformation are both 0. It essentially means that this deformation is not a counter example of Berger's problem for $1$-forms.

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講演・口頭発表等 48

  1. Comparison of the eigenvalues of the Hodge-Laplacian and special holonomy groups 招待有り

    Junya Takahashi

    Geometric Structures and Differential Equations -- Symmetry, Singularity, and Dynamical Systems -- RIMS, Kyoto Univ.　2024年12月19日

  2. Small eigenvalues of the Hodge-Laplacian with sectional curvature bounded below 招待有り

    高橋淳也

    リーマン幾何と幾何解析，筑波大学，　2024年2月21日

  3. Small eigenvalues of the Hodge-Laplacian with sectional curvature bounded below 招待有り

    Junya Takahashi

    Global Analysis and Geometry 2023 at Osaka, Osaka Metropolitan Univ.　2023年10月21日

  4. 断面曲率が下に有界な場合の Hodge-Laplacian の小さい固有値

    高橋淳也, Colette Anné

    日本数学会幾何学分科会, 東北大学,　2023年9月22日

  5. Small eigenvalues of the rough and Hodge Laplacians under fixed volume 招待有り

    高橋淳也

    Geometry and Analysis Seminar -- Mini Workshop 2023, Tohoku Univ.　2023年1月25日

  6. Small eigenvalues of the rough and Hodge Laplacians under fixed volume 招待有り

    高橋淳也

    幾何セミナー，東北大学　2022年6月21日

  7. 体積一定下での Hodge-Laplacian と rough Laplacian の小さい固有値

    高橋淳也, Colette Anné

    日本数学会幾何学分科会（非対面開催）　2022年3月31日

  8. Partial collapsing and the spectrum of the Hodge-Laplacian 国際共著 招待有り

    高橋淳也

    多様体上の微分方程式, 金沢大学　2016年11月19日

  9. Partial collapsing and the spectrum of the Hodge-Laplacian 招待有り

    高橋淳也

    リーマン幾何と幾何解析, 筑波大学　2014年3月7日

  10. Partial collapsing and the spectrum of the Hodge-Laplacian 招待有り

    高橋淳也

    東北大学理学部幾何セミナー, 東北大学　2013年10月22日

  11. 一般化された連結和の崩壊と Hodge-Laplacian の固有値の収束 招待有り

    高橋淳也

    第60回幾何学シンポジウム, 東京工業大学　2013年8月25日

  12. Partial collapsing and the spectrum of the Hodge-de Rham operator 招待有り

    高橋淳也

    Geometry and Probability, Kyoto University　2013年8月8日

  13. 区間への崩壊と Laplacian の固有値の収束 招待有り

    高橋 淳也

    東北大学幾何学セミナー, 東北大学　2006年4月18日

  14. Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on p-forms 招待有り

    Junya Takahashi

    International Workshop on Differential Geometry, Saga University　2005年12月24日

  15. Riemann 多様体の崩壊と微分形式の固有値 招待有り

    高橋淳也

    広島幾何学研究集会, 広島大学　2005年10月7日

  16. Collapsing, surgery and the first eigenvalues of the Laplacian on $p$-forms 招待有り

    高橋淳也

    Geometry and Probability, Tohoku University　2005年9月6日

  17. Riemann 多様体の崩壊と p-form の大きい固有値 招待有り

    第52回幾何学シンポジウム, 福岡大学　2005年8月20日

  18. Riemann 多様体の崩壊と $p$-form の大きい固有値 招待有り

    高橋淳也

    Kunitachi One-Day Symposium on Geometric Analysis, 一橋大学　2005年7月9日

  19. Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on p-forms in collapsing 国際会議

    高橋淳也

    Séminaire de Géométrie, Université de Nantes, France　2005年5月27日

  20. Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on $p$-forms in collapsing 国際会議 招待有り

    高橋淳也

    Analytic aspects of problem in Riemannian geometry, l'Aber Wrac'h, France　2005年5月9日

  21. The gap between the first eigenvalues of the Laplacian on function and p-forms 国際会議

    高橋淳也

    Séminaire de Géométrie, Université de Tours, France　2004年9月10日

  22. The gap between the first eigenvalues of the Laplacian on function and p-forms 国際会議

    高橋淳也

    Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Université de Neuchâtel, Suisse　2004年8月24日

  23. Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on p-forms 国際会議

    高橋淳也

    Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Université de Neuchâtel, Suisse　2004年8月20日

  24. Small eigenvalues on p-forms of collapsing of the even dimensional spheres 国際会議 国際共著

    高橋淳也

    Séminaire de théorie spectrale et géométrie, Université de Neuchâtel, Suisse　2004年8月18日

  25. 崩壊における $p$-form の大きい固有値とコホモロジー群の消滅 招待有り

    高橋淳也

    微分トポロジーセミナー, 京都大学　2004年6月29日

  26. 崩壊における p-form の大きい固有値とコホモロジー群の消滅 招待有り

    高橋淳也

    微分幾何学火曜セミナー, 筑波大学　2004年6月8日

  27. Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on $p$-forms 招待有り

    Junya Takahashi

    Spectral Geometry, Asymptotic Analysis and Related Topics, Keio University　2004年2月3日

  28. Riemann 多様体の崩壊と微分形式の Laplacian の固有値 招待有り

    高橋淳也

    談話会, 東北大学理学部　2003年12月22日

  29. コホモロジー群の消滅と $p$-form の大きい固有値 招待有り

    高橋淳也

    幾何学セミナー, 九州大学　2003年11月28日

  30. コホモロジー群の消滅と $p$-form の大きい固有値

    高橋 淳也

    日本数学会幾何学分科会 千葉大学　2003年9月26日

  31. Vanishing of cohomology groups and large eigenvalues of the Laplacian on $p$-forms

    Junya Takahashi

    Probability and Geometric Analysis, Yokohama City University　2003年9月17日

  32. 球面の崩壊と $p$-form の Laplacian の固有値 招待有り

    高橋淳也

    談話会, 立教大学　2003年6月16日

  33. 球面の崩壊と $p$-form の Laplacian の固有値 招待有り

    高橋 淳也

    情報数理談話会, 東北大学情報科学研究科　2003年6月10日

  34. Riemann 多様体の崩壊と微分形式の Laplacian の第 1 固有値 招待有り

    高橋 淳也

    大岡山談話会，東京工業大学　2003年1月6日

  35. 球面の崩壊における小さい固有値と大きい固有値 招待有り

    高橋淳也

    微分幾何学, 九重研究集会　2002年9月14日

  36. 偶数次元球面の $p$-form の小さい固有値と gap 問題 招待有り

    高橋 淳也

    第49回幾何学シンポジウム，大阪大学　2002年7月28日

  37. Small eigenvalues on $p$-forms on the even dimensional spheres and the gap problem 国際会議

    高橋淳也

    Second Russian-German Geometry Meeting dedicated to 90-anniversary of A.D. Alexandrov, Euler International Mathematical Institute, Sankt Petersburg, Russia　2002年6月17日

  38. 多様体の崩壊と微分形式に作用する Laplacian の第 $1$ 固有値 招待有り

    高橋淳也

    幾何学セミナー, 東北大学　2002年5月7日

  39. 偶数次元球面の崩壊における $p$-forms の小さい固有値

    高橋淳也

    日本数学会幾何学分科会, 明治大学　2002年3月28日

  40. Riemann 多様体の崩壊と微分形式に作用する Laplacian の固有値

    高橋淳也

    トポロジーセミナー, 東京大学　2002年1月22日

  41. 偶数次元球面の崩壊における $p$-form の小さい固有値 招待有り

    高橋淳也

    多様体上の微分方程式, 金沢大学　2001年12月13日

  42. Small eigenvalues on $p$-forms for collapsing of the even dimensional spheres

    Junya Takahashi

    Geometry and Probability, Tohoku University　2001年11月21日

  43. 連結和の崩壊における Laplacian の固有値の収束とその応用 招待有り

    高橋淳也

    微分幾何学火曜セミナー, 筑波大学　2001年10月23日

  44. 連結和の崩壊と Laplacian の固有値の収束

    高橋淳也

    日本数学会幾何学分科会, 九州大学　2001年10月4日

  45. 連結和の崩壊と Laplacian の固有値の収束 招待有り

    高橋 淳也

    第48回幾何学シンポジウム, 茨城大学　2001年8月28日

  46. 連結和の崩壊と Laplacian の固有値の収束 招待有り

    高橋淳也

    幾何学と物理学セミナー, 早稲田大学　2001年6月1日

  47. 連結和の崩壊と Laplacian の固有値の収束 招待有り

    高橋淳也

    Lie 群と幾何セミナー, 上智大学　2001年5月16日

  48. 連結和の崩壊と Laplacian の固有値の収束 招待有り

    高橋淳也

    微分幾何セミナー, 東京都立大学　2001年4月20日

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共同研究・競争的資金等の研究課題 8

  1. ホッジ・ラプラシアンと微分形式の幾何学

    高橋 淳也

    2026年4月 ～ 2031年3月

  2. 楕円型作用素の解析とその幾何学的函数論への応用

    須川 敏幸, 志賀 啓成, 高橋 淳也, 相川 弘明, 柳原 宏, 船野 敬, 坂口 茂, 松崎 克彦, 菊田 伸

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Tohoku University

    2017年4月1日 ～ 2022年3月31日

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    研究代表者の須川は主に高次元擬等角写像の局所的な性質（連続度の評価など）および境界における挙動が各点ごとに定義された最大歪曲度からどのような制約を受けるかということについて研究を行った．そのため，高次元におけるタイヒミュラー型の評価を定式化し，さらにそれの境界版も確立した．現在はまだ基礎的な研究段階であるが，より複雑な（擬等角とは限らない）同相写像についての応用が見込まれる．また，一般次元における領域の境界の一様完全性とその領域の距離的またはポテンシャル論的な性質との関わりについてVuorinen氏らとの共同研究において考察を行った．さらに平面領域の場合には双曲計量を用いた新しい特徴付けがいくつか得られており，現在論文の形にまとめているところである． 分担者の相川氏はIntrinsic ultracontractivity の研究を応用して，Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与えた．これは正値優調和関数の可積分性に関する結果のの放物型拡張である． 分担者の志賀氏は一般化されたカントール集合の擬等角同値性をそのカントール集合を定義する数列によって評価し，それを用いてある条件のもとでカントール集合のハウ スドルフ次元が等しくなることを示した． 分担者の坂口氏は不連続な伝導係数を持つある楕円型作用素に対する非有界領域上の最大値原理や比較定理を示した．

  3. 特異点の幾何とホッジ・ラプラシアンの固有値の研究

    高橋 淳也

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2016年4月 ～ 2022年3月

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    閉 Riemann 多様体上の Hodge-Laplacian の固有値の持つ幾何学的情報の解明を目指して研究を行い，以下の成果を得た： 任意のm次元閉多様体上に，与えられた次数 p (1≦p≦m-1)と任意の番号kに対し，p次微分形式に作用する Hodge-Laplacian と rough Laplacian の第k固有値が0に収束するような，体積一定の Riemman 計量の列を構成した．特に，m次元球面の場合には，断面曲率が非負という条件も保つ Riemann 計量の1-パラメーター族を構成した． これは，Colette Ann'e 氏（フランス，ナント大学）との共同研究である．

  4. 多様体の崩壊に対するホッジ・ラプラシアンの固有値の極限の研究

    高橋 淳也

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

    研究機関：Tohoku University

    2012年4月 ～ 2016年3月

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    コンパクト Riemann 多様体が崩壊した際に，対応する Hodge-Laplacian の固有値の極限について研究を行った．特に，同じ境界を持つ 2つの境界付き Riemann 多様体を境界で貼り合わせ，その一方を1点に一様に潰す場合を考察した．その結果，崩壊する Riemann 多様体の Hodge-Laplacian の全ての正の固有値が，極限空間上のある Hodge-Laplacian の全ての正の固有値に収束することを証明した．また，0 に収束する固有値の重複度を与える指数公式も得た． 以上の成果は，Colette Ann'e 氏（フランス，ナント大学）との共同研究である．

  5. 測度距離空間の収束理論とその展開

    加須栄 篤, 浦川 肇, 納谷 信, 加藤 信, 久村 裕憲, 高橋 淳也, 納谷 信, 加藤 信, 久村 裕憲, 高橋 淳也

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：Kanazawa University

    2007年 ～ 2009年

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    有限ネットワーク列の極限に現れる空間を、解析的な視点からの特徴付けを行い、Gromov-Hausdorff収束とDe Giorgiの変分収束の両方の視点から有限ネットワーク列の収束理論を展開する。関連して、無限ネットワーク上のレジスタンス形式に関する倉持コンパクト化を研究し、ディリクレ有限調和関数族に関する体系的な研究を行う。

  6. 微分形式における小さい固有値の位相的性質の研究

    高橋 淳也

    2007年 ～ 2007年

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    本年度は,コンパクトなRiemann多様体の崩壊において,微分形式に作用するLaplacianの固有値の振る舞い,特に,0に収束する小さい固有値の存在とその多様体の位相的な性質の関係について研究を行った。 一般に,Riemann多様体の崩壊理論では、曲率の有界性を仮定する場合が多いのだが,そうすると逆に、微分形式の固有値の解析・計算が非常に複雑になってしまう。そこで,まず、曲率の有界性を犠牲にして,微分形式の固有値の計算し易い状況において,小さい固有値の存在と多様体のトポロジーとの関係を明らかにすることを当面の目標として研究を進める計画を立て行なった。まず,関数の場合には,Riemann多様体の崩壊の極限空間に各k番目の固有値が収束することを示した。次に,一般のp形式の場合には,ファイバー空間Fのベッチ数が零のときに,p形式の第一固有値が無限大に収束すること,及び,ベッチ数が零でないときは,p形式の第一固有値が有界にとどまることを示した。この結果,m次元球面上のRiemann計量の1径数族で,m次元単位ボールに崩壊し,n<p<m-nなるp形式の第一固有値は無限大に発散し,その他のp形式の第一固有値は有界に留まるという,興味あるRiemann多様体の崩壊現象の例を構成することができた。

  7. リーマン多様体の崩壊と微分形式のラプラシアンの固有値の研究

    高橋 淳也

    2004年 ～ 2006年

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    閉Riemann多様体が崩壊した時、対応する微分形式に作用するLaplacianの固有値の極限について研究を行ってきた.Riemann多様体の崩壊の最も基本的な例は、fiber buundleでそのfiberが一様に潰れて底空間に収束するものである.この場合のLaplacianの固有値の極限についてはよく分かっている.一般に、断面曲率が下から一様に抑えられている場合の崩壊は、粗く言うと、このようなfiber bundleが貼り合ってできている.従って、この場合のLaplacianの固有値の極限を調べるというのはごく自然なことであり、とても重要なことである.しかし、貼り合わせの複雑さのため、一般に固有値の極限を調べるのは非常に困難である. そこで、我々はこのような貼り合わせの崩壊の最も簡単な場合、すなわち、2つのコンパクトな境界つき直積Riemann多様体の境界で貼りあわせて得られる崩壊を調べた.ここで、一方のfiberが他方のfiberの境界になっている点が面白いところである.昨年度までは、第1固有値の極限、特に、0に収束する小さい固有値や∞に発散する大きい固有値の存在とfiberのトポロジー関係について調べてきた. 本年度はすべての固有値の極限を調べるために、まず関数に作用するLaplacianの固有値の極限を調べた.その結果、昨年度まであった底関数の次元に関する仮定を完全に取りのぞくことができ、関数に作用するLaplacianの固有値が底空間の固有値に収束することを完全に示すことができた.同時に。対応する固有関数の収束も示すことができた.証明方法は、偏微分方程式の関数解析的手法、いわゆる、$L 2$-解析を用いて行った. なお、本結果を論文として発表することができた(別記).

  8. リーマン多様体の崩壊における微分形式のラプラシアンの固有値の研究

    高橋 淳也

    2002年4月 ～ 2003年3月

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    コンパクトなリーマン多様体上のp-形式に作用するラプラシアンの固有値の持つ幾何学的情報を調べるために,リーマン多様体の崩壊におけるp-形式の固有値の振る舞いの研究を行ってきた.とりわけ,微分形式のラプラシアンに特有の現象として意味深い,小さい固有値と大きい固有値の存在に焦点を当てて研究を行ってきた.断面曲率が上下一様に抑えられている場合は既に分かっているので,断面曲率が下にのみ有界である場合を調べることが当面の目標である. 昨年度,偶数次元球面の断面曲率が下にのみ有界である崩壊において,小さい固有値の存在を示し,それを用いた応用も得た.本年度の始めに,これら2つの結果の論文の改定を行い,2本とも論文として発表することができた.また,幾つかの研究集会で発表を行ったが,中でも,6月にロシアのサンクト・ペテルブルグで発表できたことは大変貴重な経験となった.これは私にとって初めての海外の研究会への参加で,自分自身の発表以外にも多くの研究者の講演や会話を通して非常に得る物が大きかったからである. 本年度の新たな成果の一つは,大きい固有値の存在する非自明な崩壊の例を構成することが出来たことである.この崩壊はある特別な特異なリーマン沈めこみであるが,その重要な例として,球面の断面曲率が下にのみ有界で円板への崩壊がある.この例は,断面曲率が上下有界な場合の主張の拡張の手がかりになる反面,固有値の収束定理において新たな困難も示唆していると思われ,興味深い例であると考えている.また,ある状況下で,大きい固有値が存在するための必要条件を与えることもできた. 第二の成果は,偶数次元球面以外の幾つかの崩壊の例において,小さい固有値の存在を示すことが出来た点である.曲率の条件を弱めると大きい固有値以上に多彩な存在例があることが分かり,固有値の幾何学を調べる上で今後も続けて行きたい研究である.

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