主として場の理論に付随して現れる古典および量子可積分系とその離散化について,主に対称性の観点からの普遍的理解をめざし,新たな構造や視点を得ることが本研究課題の主目的であった.これに対し,各研究者は互いに議論しつつ以下のような研究を行った. 長谷川は,パンルヴェ方程式を含むアフィンワイル群対称性をもった方程式について,その量子差分化の研究を行った.とくに,梶原-野海-山田による差分パンルヴェ方程式の解空間へのアフィンワイル群作用の量子化について考察を深めるとともに,また神保と坂井による第6パンルヴェ方程式の差分化に対し,その量子化を構成した. 黒木は,モノドロミー保存変形の理論の量子化と差分化について一般的に考察した.梶原-野海-山田によるアフィンワイル群作用の長谷川による量子化について,dressing chainおよび幾何クリスタルとの関連の観点からの再構成を行うとともに,共形場理論のW代数による変形の立場からの考察を行なった. 山田は,山田は可解格子模型に特有の構造のトロピカル化について考察し,種々の組み合わせ的構造との対応を示すとともに,離散パンルヴェ系の超幾何解について,とくに楕円関数版の場合を研究した.また退化した場合も含めて,q-Painleve方程式の超幾何解を構成した.更に,そこで用いた方法を微分Painleve方程式のHamiltonianに応用した. 池田はソリトン系の簡約について考察し,その中でシューアのQ関数に関する組み合わせ的等式をフェルミオン・フォック空間を用いて示した.さらに同変コホモロジーを用いてシューアのQ-関数を捉えることに成功し,トーラス作用の固定点への局所化によって特殊多項式を研究するという視点が実り多いものであるということが再認識できた.

1.雪江は双2次体の類数とレギュレーターの積の密度を決定した。またその他の密度定理を研究した。また5次体の密度の上限を得た。 2.石田は有理扇について得られた複体の理論の実扇への一般化に取り組んだ.特に,可換環論におけるイデアル論を扇の理論へ翻訳し,代数多様体のブローアップと同等の操作を実扇でも行うための理論作りに取り組んだ.また扇のザリスキ・リーマン空間について定式化を行い,永田による代数多様体の完備化と同様の方法で実扇の完備化が可能であることを示した. 3.中村は虚数乗法をもつ楕円曲線のうち,ガロア群で安定した性質を持つQ-曲線の分類とそれらから得られるアーベル多様体の構造を解明した.また,有理数体上で定義される特異アーベル曲面の構成方法について考察した. 4.尾形は射影的トーリック多様体の定義イデアルについて、射影正規的埋め込みを与えるアンプル直線束のテンソル積の回数の評価と、そのときのイデアルの生成元の次数の評価を得、最高次の生成元を与える多様体を決定した。 5.原は標数0の双有理代数幾何に現れる特異点やmultiplier ideal等に対応するべき正標数の概念をフロベニウス写像や密着閉包などを用いて環論的に導入し,両者の関係を示すと共に,正標数の代数幾何への応用を試みた。 6.佐藤は代数体上定義された楕円曲線の2次ツイストの族のMordell-Weil群の階数の分布ならびにその周辺の問題を研究した。 7.長谷川は離散的可積分系について、対称性の観点からその代数的側面について研究した。とくに離散パンルヴェ方程式の量子化について研究した。

本課題は数理物理における可積分系の研究,特にヤン・バクスター方程式の楕円函数解の周辺の代数構造およびその可積分系との関連を,差分化された量子系の場合に考察するものであった.とくに,スクリャーニンらによるカロジェロ系の離散時間化と,量子群的代数構造とのかかわりについて,その量子系における楕円函数化・離散時間化をどう考えるべきかを中心的問題と考え,この問題および周辺の問題の考察を行なった. まず長谷川は,離散パンルヴェ系とその野海-山田による拡張におけるワイル群対称性について,その量子化を構成することに成功した.カイラル・ポッツ模型として知られているヤン・バクスター方程式の解により,野海-山田による離散時間発展の量子化を正準変換として実現する母函数が得られる.ただし,この変換はワイル群でなくブレイド群を生成する.これによりカイラル・ポッツ模型および対称形式によるパンルヴェ方程式の拡張の双方について,その位置付けが互いに明らかになった.たとえば,今後はカイラル・ポッツ模型の準古典的扱いが重要な問題になるかもしれないと考えられる. 黒木は,差分量子可積分系の幾何学的背景について研究した.パンルヴェ方程式はKP方程式系のリダクションとして得られることが良く知られている.そこで長谷川によるパンルヴェ方程式の量子化を拡張するため,KP方程式系のポワソン構造に基く理解とその量子化についても試みた.また共形場においては,楕円曲線上の特別な共形ブロックについての積分表示を武部と共に与えた.一方,可積分系理論の高次元化とその差分化の試みについても議論した.

本研究では、対称対についての研究を行った。対称対は、リー群および代数群の研究において基本的な対象である。群Gと位数2の自己同型σが対称対を与える。古典型単純リー群も、基礎体の標数が2ではないときには、一般線形群を元に、位数2の自己同型の不変元全体として定義される。したがって、標数が2ではないときには、単純リー群は有限個の例外を除いて、一般線形群の対称対として理解することができる。 1)対称対の基礎理論。標数2の体の上でも、リーマン対称多様体に相当する理論が構成できることがわかった。佐武図式も定義される。標数2の体上では、位数2の自己同型の共役類の数が一般には増えることが知られている。その理由もルート系の言葉で理解することができることがわかった。 2)整数環上のスキームとしての対称多様体の構成。整数環に1/2を付加した環の上での対称多様体のモデルの構成は比較的容易であるが、ここでは整数環上のスキームとしての構成ができることがわかった。 3)対称多様体のコンパクト化の構成。対称多様体のコンパクト化のモデル(群Gが随伴型であるという仮定のもとに)整数環上のスキームとして構成できることがわかった。応用としては、標数2の体上では、5個の2次曲線と接する2次曲線の数が51と、標数が2ではないときの1/64となっていることの説明がある。 4)ルスティックによって定義された指標層に対してラングランズ対応を定義することができることがわかった。群ではなく、より一般の対称対に対してもラングランズ対応を研究することは、ジャッケの相対跡公式ともあわせて大変興味がある問題である。 5)対称対と整数論の関係。対称対に関連して、エプシュタインのゼータ関数が定義され、その特殊値についての結果が得られた。また、群と対極にある対称対に付随して、楕円曲線の族があらわれる。楕円曲線の族に関する結果も得られた。 6)数理物理との関係。対称対としてあらわれるアフィンリー環についての知見が得られた。

数理科学の様々な分野に登場するグラフ上の離散的ラプラシアンについて、幾何学および解析学の両面から研究を行ない、理論の基礎づけと応用を行った。中でも結晶格子上の乱歩について、その推移確率の時間無限大における漸近挙動、特に局所中心極限定理と漸近展開の幾何学的表示を得た。この研究において、元は代数幾何学に由来するアルバネーゼトーラスとアルバネーゼ写像の概念をグラフ理論において定式化した。さらに、これらの概念といくつかのグラフ不変量との関係を明らかにした。結晶格子上のランダム・ウォークに磁場をかけることにより、離散的磁場付シュレディンガー作用素が得られるが、これに対する中心極限定理を確立し、そのスペクトル構造への応用を行った。これに関連して、C^*-群環の構造を研究し、非可変トーラスの一般化として、将来の問題として提起した。

黒木玄は,楕円曲線上の共形場理論と楕円函数係数の量子可積分系の研究を行なった. 一つ目の仕事は,楕円古典γ行列が現われる楕円曲線上の捻れヴェス・ズミノ・ウィッテン(WZW)模型と楕円ゴーダン模型の代数幾何的構成である.ここで,楕円曲線上の捻れWZW模型とは,楕円曲線上のある種のリー環束から自然に構成される共形場理論のことである.その共形ブロックの満たす楕円函数版のクニツィニク・ザモロドチコフ(KZ)方程式の係数として,楕円古典γ行列が自然に現われる.楕円ゴーダン模型は,ハミルトニアンが楕円古典γ行列を用いて定義されるある種の量子可積分系のことである.臨界レベルの捻れWZW模型から楕円ゴーダン模型が導出される.これによって,楕円ゴーダン模型のハミルトニアンの母函数が,捻れWZW模型の方の菅原構成によって得られたエネルギー運動量テンソルに関するウォード恒等式から得られることがわかる. 二つ目の仕事は,クニツィニク・ザモロドチコフ・ベルナール(KZB)方程式の解の積分表示式をアフィン・リー環の脇本表現を用いた構成である.KZB方程式は力学変数を含む古典γ作用素を用いて書き下される線形微分方程式系である.楕円曲線上のリー環束の変形も含めたWZW模型を適切に定式化すると,その共形ブロックの満たす方程式として,KZB方程式が現われる.そのことを利用すれば,脇本表現に付随したWZW模型の共形ブロックの積分表示式から,KZB方程式の解の積分表示式が得られる.

可解格子模型にたいする対称性からのアプローチは本研究の中心的課題であるが、これについては従来解明されていなかった楕円的な模型について、量子群のツイストによる準ホップ代数の表現論を用いて頂点作用素の自由場表示が得られた。 (白石・小竹) さらに、三角関数的な極限にあたる|q|=1の場合の差分KZ方程式について解の積分表示が得られた。 (三輪・今野) 長谷川はルイセナールの差分作用素を可解格子模型の連絡作用素を用いて構成できることを示した。結晶基底の理論は、可解格子模型と組合せ論をつなぐ鍵となるものであるが、これに関しては、非一様パスが、テンソル積表現の結晶基底を与えることが発見された。 (三輪・尾角・国場・山田 泰彦) また、パーフェクトではない結晶基底のパス理論もいくつかの興味ある例を通して構成されている。 (尾角・国場) 松井は、可解ではない模型について、基底状態を表すMatrix Product Stateがクンツ代数の表現と対応することを示した。トロイダル代数は、頂点作用素の対称性を統制する重要な代数であるが、三木はこの代数の構造についてその中に含まれる二つの量子群をつなぐ自己同型を構成した。 場の理論の可解模型は、もう一方の中心的研究テーマであるが、河東は作用素環の手法により、2次元共形場理論のモジュラー不変量の計算法を開発した。2次元の可解模型の手法を弦理論や4次元のゲージ理論に適用することも重要である。これに関して、中津は戸田格子のタウ関数の断熱極限として、N=2超対称Yang-Mills理論の低エネルギーでのeffective actionが得られることを示した。菅野と梁は質量0のクォークを持つN=2ゲージ理論のツイストで得られる位相的ゲージ理論から、4次元多様体のDonaldson-Witten不変量の一般化を得た。加藤は曲がった時空での量子重力理論としての行列模型の満たすべき条件を解析した。 3年間の研究成果として、 (1) 楕円的な可解格子模型に関する対称性に基づく解法が確立され、 (2) 混合スピン鎖を表現論的に扱うことが可能になった。さらに、 (3) 格子模型と組合せ論の間に新たなつながりが発見された。一方、場の理論においては、 (4) 幾何学的不変量の量子化についての理解が進み、 (5) 作用素環論と共形場理論をつなぐ代数的アプローチが開発された。

1.量子エルゴード理論の基本的枠組を確立し、量子時間平均、量子空間平均の概念を余地いて、エルゴード性の定義を明確にした。 2.ラプラジアンとそれに対応する古典力学系である測地流の間の関係を、量子エルゴード理論の立場から研究し、固有関数列の性質を導びいた。 3.有限エネルギーにおける量子エルゴード性を、半古典近似の立場から研究した。 4.離散スペクトル幾何に、上記の考え方を適用し、有限生成=の性質や、コミニュケーション・ネットワークの問題に応用した。

本研究者はBelavin解から定義される量子群の表現の構成など、未だ理論が整備されたとはいえない状況にあるYang-Baxter方程式の楕円函数解について、主として表現理論的立場の研究を行なっている。本年度の研究の第1は、以前に得ていた差分作用素による表現を一般のA型以外の場合に拡張することであった。このため各場合の格子模型のボルツマン荷重の表式から試行錯誤を行っており、成果は発表するまでに至らなかったが、現在も研究が進行中である。第2は、A型の場合に戻り、表現から得られる可換差分系の固有関数を求めようとするものである。楕円的方程式系の場合には、三角函数を系数とするマクドナルド方程式系の場合と異なり、系の作用素の三角化可能性が明らかではない。これはテ-タ函数の空間への作用の様子を計算してみることからわかった。1変数のときだけは、固有関数(差分Lame函数)はその零点がわかれば固有関数がわかったことになるが、その零点はベ-テ方程式とほとんど同じ形の方程式系を満たすべきであるという結論も得られる(これについてはFelder-Varchenkoが先に発表した)。しかしこれは1変数の特殊性というべきである。これは多変数函数を一般には単純な積に分解する原理がないこと及び、BelavinのR行列が面模型のボルツマン荷重とは違いrankについて安定な行列要素をもたないためである。そこで固有関数とその性質については残された課題である。

本研究者はBelavin解から定義される量子群の表現の構成など、未だ理論が整備されたとはいえない状況にあるYang-Baxter方程式の楕円函数解について、主として表現論的立場の研究を行なっている。本年度の研究の第1は、以前に得ていた差分作用素による表現を一般のA型以外の場合に拡張することであった。このため各場合の格子模型のボルツマン荷重の表式から試行錯誤を行っており、成果は発表するまでに至らなかったが、現在も研究が進行中である。第2は、A型の場合に戻り、表現から得られる可換差分系の固有関数を求めようとするものである。楕円的方程式系の場合には、三角函数を係数とするマクドナルド方程式系の場合と異なり、系の作用素の三角化可能性が明らかではない。これはデータ函数の空間への作用の様子を計算してみることからわかった。1変数のときだけは、固有関数(差分Lame^'函数)はその零点がわかれば固有関数がわかったことになるが、その零点はベ-テ方程式とほとんど同じ形の方程式系を満たすべきであるという結論も得られる(これについてはFelder-Varchenkoが先に発表した)。しかしこれは1変数の特殊性というべきである。これは多変数函数を一般には単純な積に分解する原理がないこと及び、BelavinのR行列が面模型のボルツマン荷重とは違いrankについて安定な行列要素をもたないためである。そこで固有関数とその性質については残された課題である。

超幾何型関数は古来からリー群の表現論の様々な局面において重要な役割を果たしてきた。即ち,球関数,行列係数,指標等々を表示するものとしてであった。近年,青本やGolfwdたちの超幾何型微分方程式系の一般化によって、代数群論とこの方程式系の新しい関係が発見された。堀田はこの数年,指標方程式とこの超幾何型方程式系の類似に注目し,その同変性を鍵として,同変ホロノミー系の一般論と応用を研究してきた。本年は谷崎による一般Verma加群との深い関係も発見され、その大域的構造の研究も始めた。 この方程式系と関係の深いトーラス俗用の幾何については,小田,石田の研究がある。特に石田による交叉ホモロジーの決定は著しい。宇澤は同変K理論と表現論の関係,及び局所体上の代物群の球関係について新しい地検を得た。中島は筋参称体が生成するKa,Msody環の表現の研究で注目されている。長谷川はBelavin模型について新しい結果を得た。

本課題においては、量子可積分系の重要な例であり、近年活発に研究されている共形場理論と可解格子模型について、そこに現れる特殊函数の由来に注目して研究することを目的とした。結果は以下の様であった。 長谷川は、可解格子模型で重要なヤン・バクスター方程式の、楕円テータ函数解(ベラヴィン解)に付随する代数的構造の研究を行った。この解は三角函数極限においてA型量子展開環U_q(gl_n)から定まる解に退化する。楕円函数解の場合においても、解を与えるホップ代数があるだろうか。これについて、双代数の生成元たちにある条件をつけると対合射が定義できることがわかった。しかし同時に、これでは自然な表現がこの条件を満たさないことも判明した。中心拡大を定義することも含め、良い定義を与えることは今後に残された問題である。一方ベラヴィン解に付随して絡ベクトル(intertwining vector)と呼ばれる量がある。これはテンソル積に関して良いふるまいをする興味深いものである。この内在的意味を探ることも重要と考え研究を行った。特に、これを用いてベラヴィン解に付随する双代数の新しい表現の族を与えることができ、それはA型アフィン・ワイル群不変式の空間からなる部分表現をもつことがわかった。これはスクリャーニンによるn=2のときの結果の拡張を与えるものである。 黒木は、共形場理論の定式化の観点から、数論的状況との類似の追究を試みた。 リーマン面上の共形場理論はアデール的に定式化することが自然であり、これは土屋らによって行われた。一方、本来アデール的定式化を必要としたのは保型函数論においてであった。これらの間には、リーマン面R上の函数体とSpecZとを対応物としての類似が見てとれる。これを明白な形にすることを念頭に置いて共形場理論の再構成をしたところ、次が得られた:R上のconformal blockの空間と、quasi parabolic bundlesのモジュライ上の直線束の大域切断の空間とが同型である。そしてこの方向には、ヘッケ作用素の類似を考えることなどが今後の課題として残されている。

1.積分可能系の研究については、伊藤(研究代表者)が可積分系の特異点における標準形の研究を可積分な正準写像の不動点のまわりでの標準形について拡張し、適当な座標系をとることにより線形部分と可換という「対称性」を持った標準形を得た。また長谷川はYang-Baxter方程式のn状態Belavin解についてその交差対称性を明らかにし、付随する代表の新しい表現の族を構成した。 2.微分方程式の解の安定性に関連して、加藤は無限の遅れを持つ関数微分方程式の解の有界性を研究し、遅れが有限の場合との差を明らかにした。また高木は、生物の形態形成モデルに関係する半線型楕円型偏微分方程式のノイマン問題について、拡散係数が0に近づく時の最小エネルギー解について、最大値をとる点の位置などの漸近挙動について顕著な結果を得た。変分法との関連では、堀畑がQuasi-convexと呼ばれるカラテオドリ汎関数の最小解の滑らかでない部分の評価をハウスドルフ次元を用いて行った。さらに、会田は重要な無限次元空間であるループ空間に対し、その上の微分作用素の性質をWiener-Riemann多様体上のOrnstein-Uhlenbeck作用素を用いて調べた。立沢は、擬微分作用素のModulation spaceにおける有界性をL^2(R^n)の完全正規直交系を用いて研究した。また微分方程式の複素解析的研究として、藤家はある2階のFuchs型作用素の解の特異性が超幾何関数を用いて記述できることを発見した。 3.幾何学的側面からの研究としては、板東がケーラー多様体上の安定ベクトル束のモジュライのコンパクト化を代数多様体の場合と同様に出来ることを発見した。また、納谷はコンパクトなKlein多様体、すなわち球面領域をKlein群の作用で割って得られるコンパクト共形平坦多様体上に、共形構造と両立し、かつ幾何的にきわめてよい性質を持ったRiemann計量を構成した。

群作用をもつホロノミー系の研究を中心として種々の結果が得られた。まず,トーリック多様体と関係が深い,一般超幾何型微分方程式の特殊ではあるが重要なクラスである対称空間に対応する場合の具体的な結果である.その構造を決めるにあたって重要である正規性が証明され,さらにその同型群(環)の構造の研究に進んだ.これらは齋藤睦を中心とする.次に,この問題と関連の深いトーリック多様体の幾何について,小田,石田の結果がある.すなわち,ドラムの定理の精密化,交叉ホモロジーと組合せ論との関係,特異点の双対性等である. 数理物理に関係する分野では,共形場,量子群,可解格子模型のさらに深い研究が進行中である.とくに中島は,インスタントンのモジュライ空間の幾何学的構造を,量子群の表現のカノニカル基底との対応を発見することによって,鮮かに決定した.これは,全く新しい展開を促すものとして注目される. 次に,長谷川はYang-Baxter 方程式のBelavin 解に対応する新しい代数構造をとらえることによって、この不思議な現象に新しい視点を与えた.これは,量子群,q差分方程式等最近のトレンドの中で注目されている. 黒木による共形場の構成は,対応するアフィンリー環の拡張精密化のみならず,コセット構成が生成するようなヴィラソロ環の表現に対する共形場,W代数との関係,q差分作用素との関係に及んでいる.

代数群の大域的指標を統制する偏微分方程式系として,HarishーChandro方程式系というホロノミ-系があり,ここ数年来その構造を研究してきた。本年度は,これとは異なる動機で成立したものであるが共通の側面をもつ青本・Gelfand型のホロノミ-系について幾分かの成果を得た。 青本・Gelfandのホロノミ-系は,本来Gauss以来長い間研究されてきた超幾何型微分方程式(函数)の一般化(多変数化)を目ろんだもので,いくつかの定式化があるが末だその全貌は明らかではない。 まず,このホロノミ-型微分方程式系は,代数群がベクトル空間に線型作用しているとき構成されるわけであるが,特に変換群がト-ラスであって相似変換を含むとき“一般超幾何型"と呼ばれている。この場合このホロノミ-系のフ-リエ変換を考えると,そのサポ-トは有限個の軌道からなり,かつ斉次的である。さらにD加群的考察によって,このホロノミ-系は群の(無限小)指標に関して“捩れ同変"(新しい概念)であることが判明した。このことを手がかりにすると,このフ-リエ変換されたホロノミ-系は確定特異点型(Fuchs型)であることが証明される。従って,斉次性によって,元の青本・Gelfand型のホロノミ-系(一般超幾何型も確定特異点型であることが結論される。 この定理は,今後この方程式系を考察・応用する場合欠かせない基礎事実となるであろう。 その他,この方程式系の特性多様体の構造について,ト-リック多様体の側面からの幾何学的・組合せ論的研究が,小田・石田らによってなされている。

研究代表者の堀田は、従来からのテ-マである指標の代数解析的研究すなわち指標D加群を追求する中で、青木・Gelfandの微分方程式系のD加群的取扱いを試みた。その結果、この方程式は、ト-ラスの埋込みによって、オイラ一方程式系を転移し、それをフ-リエ変換したものが主要部を占めることが分かった。このことから、この方程式系の正則性(確定特異点型であること)についての知見が得られる。 関連して、小田は、ト-リック多様体の代数幾何の研究の中で、組合せ幾何学との関連で、上のGelFand学派の結果の新しい応用を見出した。さらに、石田は、ト-リック多様体のある種の不変量の計算法を具体化し、特にカスプ特異点について新しい知見を得た。これらの研究は青木・Gelfand方程式の特性多様体の構造を解明するために大きく役立つものと思われる。 代数群の数論からの研究を行った佐武は、有理構造をもつ対称領域が有利点をもつ条件、およびその商空間の志村モデルの定義体との関係等を明らかにした。 D加群れの表現論への応用を試みた齋藤は、ト-ラスの作用がある多様体上のホロノミ-D加群の局所化定理を得た。これによって、指標をレフシェツ型不動点定理から計算する方法が拡大されたことになる。 可解格子模型とアフィン・リ一環の表現論の関連を追求してきた長谷川は、柏原・三輪が構成したBroken Zn-Symmetric modelと呼ばれる模型、すなわちYang-Baxter方程式の解を、Baxterの8頂点解に関連した代数(Sklyanin代数)を用いて体系的に導出することに成功した。