K.Hasegawa studied the quantization of the discretized Painleve equation and its symmetries (Backlund transformations) proposed by K.Kajiwara, M.Noumi and Y.Yamada. Especially he succeeded to construct the quatization of the discrete Painleve VIth equation of Jimbo and Sakai. G.Kuroki studied the quantization and discretization of the monodromy preserving deformation in general. He succeeded to reconstruct Hasegawa's quantization of Bcklund transformations from the viewpoint of dressing chains and geometric crystals. Also he tried to formulate the quantized theory as the deformation of the conformal field theory under the symmetry of W-algebras. Y.Yamada studied the tropicalization of the structures relevant in the two dimensional solvable lattice statistical models, yielding many combinatorial corresspondances. Also studied are the discrete Painleve systems. Hypergeometric solutions for the elliptic and/or degenerate discrete Painleve equations are obtained. The method was applied to the Hamiltonian sturucture for the differential case. T.Ikeda studied the reductions of solitonic equations. Heused the Fermionic Fock space to obtain a combinatorial formula for Schur's Q- functions. Also he succeded to identify Schur's Q-functions as some classes in equivariant cohomologies, suggesting that the study of special functions in the setting of torus action and its fixed points will be fruitful.

(1) Yukie determined the density of the product of the class number and the regulator of biquadratic fields. Also he investigated other density theorems. He also obtained an upper bound for the number of quintic fields with bounded discriminant (2) Ishida worked on a generalization of the theory of complexes for rational fans to fans over real fields. In particular, he interpreted the ideal theory of commutative algebra theory in terms of fans, and worked on a construction of a process for real fans which is equivalent to blowups for algebraic varieties. He also formulated the notion of Zariski space for fans and established that it is possible to compactify real fans in the same manner as Nagata's completion of algebraic varieties (3) Among CM elliptic curves, Nakamura classified Q-curves which have nice properties with respect to the Galois group action and determined the structure of the Abelian varieties. obtained by such Q-curves. He also investigated the construction of singular Abelian surfaces over the field of rational numbers (4) Ogata investigated defining equations of projective toric varieties and obtained an estimate of the number of tensors of an ample line bundle which give projectively normal imbeddings. He also obtained an estimate of the number of degrees of generators of the defining ideal and determined varieties which give rise to generators of the defining ideals of the highest degree (5) Hara introduced the notions in singularity theory in positive characteristic ring theoretically which should correspond to singularities in birational geometry and multiplier ideals in characteristic zero using the notion of Frobenius map and the tight closure. He also showed the relation between them and tried to find applications to algebraic geometry in positive characteristic (6) Sato investigated the distributions of the ranks of the Mordell-Well groups of quadratic twists of elliptic curves defined over number fields and related problems (7) Hasegawa investigated algebraic aspects of discrete integrable systems from the viewpoint of symmetry. In particular, he investigated quantization of discrete Painleve equations

The aim of this project is to study the integrable systems in mathematical physics, especially the relationship between those systems in discretized quantum system and the elliptic solutions of the Yang-Baxter equations. In particular, we have been concentrated on the study related to the main isuue in this subject which is to clarify the quantum group like structures and the discrete time evolution structures appeared in Sklyanin and others' work on Calogero type systems. The result is as follows. Hasegawa obtained a quantization of the Weyl group action in discrete Painleve system and the generalization thereof studied by Noumi and Yamada. The solution of the Yang-Baxter equation known as the Chiral-Potts model plays the role of quantum generating function of Noumi - Yamada - Kajiwara's canonical transformation or the discrete time evolution. We remark that the invotutivity of the transformations fails in this quantum case and generate a braid group action. These findings connect the Chiral Potts models and the Painleve equations in an unexpected way so that the mutual relationship will help to clarify the nature of these objects. On the other hand, it is well known that Panlev'e type equations can be obtained by reductions of the KP hierachy. Kuroki tried to extend Hasegawa's result of quantizing the Paileve systems via the Poisson structures. Also he studied the conformal block of a special kind over the elliptic curves, as well as studied a higher dimensional generalization of the integrable systems.

For the grant period, we have carried out research on diverse aspects of symmetric pairs. A symmetric pair, in its most primitive form, is a group G together with a automorphism σ of order two. Symmetric pairs appear quite naturally in mathematics. For example, one can associate a symmetric pair to symmetric spaces by letting G be the group of isometries and σ the involution with respect to a base point. Simple Lie groups, if the base field is not of characteristic two, appear as symmetric pairs for the general linear group, with finitely many exceptions. We give a brief summary of results obtained. (a) Extension of basic theory to the characteristic two case. We have shown that the theory for Riemannian symmetric spaces carry over ; in particular, one has the notion of Satake diagrams. (b) Construction of a model for symmetric varieties and their compactifications over the ring of integers. (c) Arithmetical aspects. Connections with special values of the Epstein Zeta function and families of elliptic curves have been probed. (d) Physical aspects. Connections with the face models have been probed.

We have handled both geometric and analytic aspects of discrete Laplacians on infinite graphs which are main objects in discrete geometric analysis and show up in various fields of pure and applied mathematics, say the theory of discrete groups communication networks and Markov chains. Especially we obtained interesting results on large time asymptotic behaviors of transition probabilities of random walks on crystal lattices. One is the local central limit theorem, and another is asymptotic expansions. In our study, we made use of the notions of Albanese tori and Albanese maps which have the origin in algebraic geometry. In connection with this, we developed the theory of harmonic maps from graphs into Riemannian manifolds. Albanese maps is defined as a harminic maps from a finite graph into a flat torus. In this project, we have also studied the spectral properties of discrete magnetic Schroedinger. operators (Harper operators) on crystal lattices. The central limit theorem for Harper operators was established. We investigated twisted group C^* algeblas associated with Harper operators which is a generalization of non-commutative tori. As a byproduct of our research, we gave a rigorous treatment of quantized theory of lattice vibrations.

First the investigator constructed a twisted Wess-Zumino-Witten (WZW) model on elliptic curves and found an algebro-geometric interpretation of the elliptic Gaudin model. The twisted WZW model on elliptic curves is a conformal field theory which possesses certain non-trivial flat Lie algebra bundles on elliptic curves as gauge symmetry. Coefficients of the linear differential equations satisfied by conformal blocks of the model, the elliptic Knizhnik-Zamolodchikov equations, are equal to the elliptic classical gamma-matrices of Belavin and Drinfeld. The elliptic Gaudin model is the quantum integrable system introduced as a quasi-classical limit of a certain spin chain model. The commuting Hamiltonians of the model are also described by the elliptic classical gamma-matrices. In fact the elliptic Gaudin model can be identified with the twisted WZW model on elliptic curves at the critical level and hence the generating function of second-order elliptic Gaudin Hamiltonians can be derived from the Ward-Takahashi identity of the energy-momentum tensor defined by the Sugawara construction. Second he constructed integrable representations of solutions of Knizhnik-Zamolodchikov-Bernard (KZB) equations from the Wakimoto modules over an affine Lie algebra. The KZB equation is a linear differential equation of connection type with coefficients described by the dynamical elliptic classical gamma-operators and can be identified with the equation satisfied by the conformal blocks of the WZW model defined on a family of pairs of a pointed elliptic curve and a flat Lie algebra bundle. Applying the theory of the Wakimoto modules to the latter interpretation of the equation, we can obtain integrable representations of solutions of it. The integral formulas can be regarded as elliptic function versions of hypergeometric functions of several variables.

The main theme of this project is the symmetry approach to solvable lattice models. As for this problem, In the case of elliptic models, which had not been solved In the symmetric approach, a bosonization of the vertex operators were obtained by Shiraishi and Odake using the representation theory of quasl-Hopf algebra, in particular, the twist of quantum groups. By Miwa and Konno, in the trigonometric limit (with |q |=1) of this model, an integral formula is obtained for the difference analogue of the Knnizhnik-Zamolodchhikov equation. Hasegawa constructed Ruijsenaars' commuting difference operators by using the intertwining vectors In the elliptic model. The theory of crystal is a key In the connection between solvable lattice models and combinatorics. As for this, Miwa, Okado, Kuniba, Yamada (Yasuhiko) found that the set of inhomogeneous paths give the crystal of tensor products of integrable highest weight representations. Several interesting examples of non-perfect crystals and the corresponding paths are also studied. As for non-solvable models, Matsui showed that the matrix product states which represent the ground states correspond to the representations of the Kuntz algebra. The toroidal algebra is important because it governs the symmetry of the vertex operators. Mild found an automorphism of this algebra which connects two affine quantum algebras inside thereof. Solvable models In quantum field theory Is another main subject. Kawahigashi developed the method for calculating modular invariant quantities in the two-dimensional conformal field theory. It is also important to apply techniques developed in the two-dimensional solvable models to the problems in string theory and the four-dimensional gauge theory. As for this, Nakatsu showed that in the adiabatic limit the tau function of the Toda lattice gives the effective action of the N=2 super-symmetric Yang-Mills theory. Kanno and Yang obtained a generalization of the Donaldson-Witten Invariant for the four dimensional manifolds. Kato analysed the condition for a matrix model to be understood as quantum gravity theory In a curved space-time. The developments In the past three years Include (1) the symmetry method for the solvable lattice models of elliptic type ; (2) the method of representation theory for the mixed spin chains ; (3) the discovery of new links between lattice models and combinatorics ; (4) the quantization of several geometric invariants ; (5) the algebraic approach connecting the operator algebras and the conformal field theory.

We introduced the notion of ergodicity at infinite energy level in both quantum and classical mechanics. The notion allows us to give a necessary and sufficient condition in terms of microlocal properties of eigenfunctions of a quantum hamiltonian such that the corresponding classical dynamical system is ergodic. Especially, a new insight into quantum ergodicity due to Snirelman, Zelditch and Colin de Verdiere was given.

本研究者はBelavin解から定義される量子群の表現の構成など、未だ理論が整備されたとはいえない状況にあるYang-Baxter方程式の楕円函数解について、主として表現理論的立場の研究を行なっている。本年度の研究の第1は、以前に得ていた差分作用素による表現を一般のA型以外の場合に拡張することであった。このため各場合の格子模型のボルツマン荷重の表式から試行錯誤を行っており、成果は発表するまでに至らなかったが、現在も研究が進行中である。第2は、A型の場合に戻り、表現から得られる可換差分系の固有関数を求めようとするものである。楕円的方程式系の場合には、三角函数を系数とするマクドナルド方程式系の場合と異なり、系の作用素の三角化可能性が明らかではない。これはテ-タ函数の空間への作用の様子を計算してみることからわかった。1変数のときだけは、固有関数(差分Lame函数)はその零点がわかれば固有関数がわかったことになるが、その零点はベ-テ方程式とほとんど同じ形の方程式系を満たすべきであるという結論も得られる(これについてはFelder-Varchenkoが先に発表した)。しかしこれは1変数の特殊性というべきである。これは多変数函数を一般には単純な積に分解する原理がないこと及び、BelavinのR行列が面模型のボルツマン荷重とは違いrankについて安定な行列要素をもたないためである。そこで固有関数とその性質については残された課題である。

本研究者はBelavin解から定義される量子群の表現の構成など、未だ理論が整備されたとはいえない状況にあるYang-Baxter方程式の楕円函数解について、主として表現論的立場の研究を行なっている。本年度の研究の第1は、以前に得ていた差分作用素による表現を一般のA型以外の場合に拡張することであった。このため各場合の格子模型のボルツマン荷重の表式から試行錯誤を行っており、成果は発表するまでに至らなかったが、現在も研究が進行中である。第2は、A型の場合に戻り、表現から得られる可換差分系の固有関数を求めようとするものである。楕円的方程式系の場合には、三角函数を係数とするマクドナルド方程式系の場合と異なり、系の作用素の三角化可能性が明らかではない。これはデータ函数の空間への作用の様子を計算してみることからわかった。1変数のときだけは、固有関数(差分Lame^'函数)はその零点がわかれば固有関数がわかったことになるが、その零点はベ-テ方程式とほとんど同じ形の方程式系を満たすべきであるという結論も得られる(これについてはFelder-Varchenkoが先に発表した)。しかしこれは1変数の特殊性というべきである。これは多変数函数を一般には単純な積に分解する原理がないこと及び、BelavinのR行列が面模型のボルツマン荷重とは違いrankについて安定な行列要素をもたないためである。そこで固有関数とその性質については残された課題である。

超幾何型関数は古来からリー群の表現論の様々な局面において重要な役割を果たしてきた。即ち,球関数,行列係数,指標等々を表示するものとしてであった。近年,青本やGolfwdたちの超幾何型微分方程式系の一般化によって、代数群論とこの方程式系の新しい関係が発見された。堀田はこの数年,指標方程式とこの超幾何型方程式系の類似に注目し,その同変性を鍵として,同変ホロノミー系の一般論と応用を研究してきた。本年は谷崎による一般Verma加群との深い関係も発見され、その大域的構造の研究も始めた。 この方程式系と関係の深いトーラス俗用の幾何については,小田,石田の研究がある。特に石田による交叉ホモロジーの決定は著しい。宇澤は同変K理論と表現論の関係,及び局所体上の代物群の球関係について新しい地検を得た。中島は筋参称体が生成するKa,Msody環の表現の研究で注目されている。長谷川はBelavin模型について新しい結果を得た。

本課題においては、量子可積分系の重要な例であり、近年活発に研究されている共形場理論と可解格子模型について、そこに現れる特殊函数の由来に注目して研究することを目的とした。結果は以下の様であった。 長谷川は、可解格子模型で重要なヤン・バクスター方程式の、楕円テータ函数解(ベラヴィン解)に付随する代数的構造の研究を行った。この解は三角函数極限においてA型量子展開環U_q(gl_n)から定まる解に退化する。楕円函数解の場合においても、解を与えるホップ代数があるだろうか。これについて、双代数の生成元たちにある条件をつけると対合射が定義できることがわかった。しかし同時に、これでは自然な表現がこの条件を満たさないことも判明した。中心拡大を定義することも含め、良い定義を与えることは今後に残された問題である。一方ベラヴィン解に付随して絡ベクトル(intertwining vector)と呼ばれる量がある。これはテンソル積に関して良いふるまいをする興味深いものである。この内在的意味を探ることも重要と考え研究を行った。特に、これを用いてベラヴィン解に付随する双代数の新しい表現の族を与えることができ、それはA型アフィン・ワイル群不変式の空間からなる部分表現をもつことがわかった。これはスクリャーニンによるn=2のときの結果の拡張を与えるものである。 黒木は、共形場理論の定式化の観点から、数論的状況との類似の追究を試みた。 リーマン面上の共形場理論はアデール的に定式化することが自然であり、これは土屋らによって行われた。一方、本来アデール的定式化を必要としたのは保型函数論においてであった。これらの間には、リーマン面R上の函数体とSpecZとを対応物としての類似が見てとれる。これを明白な形にすることを念頭に置いて共形場理論の再構成をしたところ、次が得られた:R上のconformal blockの空間と、quasi parabolic bundlesのモジュライ上の直線束の大域切断の空間とが同型である。そしてこの方向には、ヘッケ作用素の類似を考えることなどが今後の課題として残されている。

1.積分可能系の研究については、伊藤(研究代表者)が可積分系の特異点における標準形の研究を可積分な正準写像の不動点のまわりでの標準形について拡張し、適当な座標系をとることにより線形部分と可換という「対称性」を持った標準形を得た。また長谷川はYang-Baxter方程式のn状態Belavin解についてその交差対称性を明らかにし、付随する代表の新しい表現の族を構成した。 2.微分方程式の解の安定性に関連して、加藤は無限の遅れを持つ関数微分方程式の解の有界性を研究し、遅れが有限の場合との差を明らかにした。また高木は、生物の形態形成モデルに関係する半線型楕円型偏微分方程式のノイマン問題について、拡散係数が0に近づく時の最小エネルギー解について、最大値をとる点の位置などの漸近挙動について顕著な結果を得た。変分法との関連では、堀畑がQuasi-convexと呼ばれるカラテオドリ汎関数の最小解の滑らかでない部分の評価をハウスドルフ次元を用いて行った。さらに、会田は重要な無限次元空間であるループ空間に対し、その上の微分作用素の性質をWiener-Riemann多様体上のOrnstein-Uhlenbeck作用素を用いて調べた。立沢は、擬微分作用素のModulation spaceにおける有界性をL^2(R^n)の完全正規直交系を用いて研究した。また微分方程式の複素解析的研究として、藤家はある2階のFuchs型作用素の解の特異性が超幾何関数を用いて記述できることを発見した。 3.幾何学的側面からの研究としては、板東がケーラー多様体上の安定ベクトル束のモジュライのコンパクト化を代数多様体の場合と同様に出来ることを発見した。また、納谷はコンパクトなKlein多様体、すなわち球面領域をKlein群の作用で割って得られるコンパクト共形平坦多様体上に、共形構造と両立し、かつ幾何的にきわめてよい性質を持ったRiemann計量を構成した。

群作用をもつホロノミー系の研究を中心として種々の結果が得られた。まず,トーリック多様体と関係が深い,一般超幾何型微分方程式の特殊ではあるが重要なクラスである対称空間に対応する場合の具体的な結果である.その構造を決めるにあたって重要である正規性が証明され,さらにその同型群(環)の構造の研究に進んだ.これらは齋藤睦を中心とする.次に,この問題と関連の深いトーリック多様体の幾何について,小田,石田の結果がある.すなわち,ドラムの定理の精密化,交叉ホモロジーと組合せ論との関係,特異点の双対性等である. 数理物理に関係する分野では,共形場,量子群,可解格子模型のさらに深い研究が進行中である.とくに中島は,インスタントンのモジュライ空間の幾何学的構造を,量子群の表現のカノニカル基底との対応を発見することによって,鮮かに決定した.これは,全く新しい展開を促すものとして注目される. 次に,長谷川はYang-Baxter 方程式のBelavin 解に対応する新しい代数構造をとらえることによって、この不思議な現象に新しい視点を与えた.これは,量子群,q差分方程式等最近のトレンドの中で注目されている. 黒木による共形場の構成は,対応するアフィンリー環の拡張精密化のみならず,コセット構成が生成するようなヴィラソロ環の表現に対する共形場,W代数との関係,q差分作用素との関係に及んでいる.

代数群の大域的指標を統制する偏微分方程式系として,HarishーChandro方程式系というホロノミ-系があり,ここ数年来その構造を研究してきた。本年度は,これとは異なる動機で成立したものであるが共通の側面をもつ青本・Gelfand型のホロノミ-系について幾分かの成果を得た。 青本・Gelfandのホロノミ-系は,本来Gauss以来長い間研究されてきた超幾何型微分方程式(函数)の一般化(多変数化)を目ろんだもので,いくつかの定式化があるが末だその全貌は明らかではない。 まず,このホロノミ-型微分方程式系は,代数群がベクトル空間に線型作用しているとき構成されるわけであるが,特に変換群がト-ラスであって相似変換を含むとき“一般超幾何型"と呼ばれている。この場合このホロノミ-系のフ-リエ変換を考えると,そのサポ-トは有限個の軌道からなり,かつ斉次的である。さらにD加群的考察によって,このホロノミ-系は群の(無限小)指標に関して“捩れ同変"(新しい概念)であることが判明した。このことを手がかりにすると,このフ-リエ変換されたホロノミ-系は確定特異点型(Fuchs型)であることが証明される。従って,斉次性によって,元の青本・Gelfand型のホロノミ-系(一般超幾何型も確定特異点型であることが結論される。 この定理は,今後この方程式系を考察・応用する場合欠かせない基礎事実となるであろう。 その他,この方程式系の特性多様体の構造について,ト-リック多様体の側面からの幾何学的・組合せ論的研究が,小田・石田らによってなされている。

研究代表者の堀田は、従来からのテ-マである指標の代数解析的研究すなわち指標D加群を追求する中で、青木・Gelfandの微分方程式系のD加群的取扱いを試みた。その結果、この方程式は、ト-ラスの埋込みによって、オイラ一方程式系を転移し、それをフ-リエ変換したものが主要部を占めることが分かった。このことから、この方程式系の正則性(確定特異点型であること)についての知見が得られる。 関連して、小田は、ト-リック多様体の代数幾何の研究の中で、組合せ幾何学との関連で、上のGelFand学派の結果の新しい応用を見出した。さらに、石田は、ト-リック多様体のある種の不変量の計算法を具体化し、特にカスプ特異点について新しい知見を得た。これらの研究は青木・Gelfand方程式の特性多様体の構造を解明するために大きく役立つものと思われる。 代数群の数論からの研究を行った佐武は、有理構造をもつ対称領域が有利点をもつ条件、およびその商空間の志村モデルの定義体との関係等を明らかにした。 D加群れの表現論への応用を試みた齋藤は、ト-ラスの作用がある多様体上のホロノミ-D加群の局所化定理を得た。これによって、指標をレフシェツ型不動点定理から計算する方法が拡大されたことになる。 可解格子模型とアフィン・リ一環の表現論の関連を追求してきた長谷川は、柏原・三輪が構成したBroken Zn-Symmetric modelと呼ばれる模型、すなわちYang-Baxter方程式の解を、Baxterの8頂点解に関連した代数(Sklyanin代数)を用いて体系的に導出することに成功した。