幾何学の究極の目標のひとつは多様体(数学的な図形の概念)の分類です。本研究では、代数多様体の双有理的な分類理論を背景に、極小モデル理論における超越的手法(複素解析や微分幾何の手法)を探求します。代数多様体とは、多項式で定義される図形であり、その名の通り代数的手法で研究できます。本研究では、数学の三大分野(代数・幾何・解析)を横断し、代数多様体の超越的側面を研究します。代数多様体は、純粋数学で中心的な位置を占めるだけでなく、数理物理や応用数学にも現れる魅力的な研究対象です。長期的には、研究領域の広範さと分類理論の強力さを活かし、他の数学諸分野や数理物理への応用の可能性も模索します。

本研究では, 複素幾何や代数幾何に現れる“様々な非負曲率性”を研究する. 具体的には, (a) 接ベクトル束の特異計量, (b) 正則断面曲率, (c) オービフォルドの反標準束に対する“非負曲率性”を研究し, 非負曲率を持つ射影多様体やKaehler多様体に対する構造定理を確立し分類理論へ応用する. 2023年度は擬有効な接ベクトル束を持つ射影代数多様体を研究した. その成果としてその有理連結射に対する構造定理をKLT特異点を許す射影代数多様体へ一般化した. 具体的には, 接ベクトル層のalmost nef性およびsingular positively curved性の理論を整備し, KLT特異点を許す射影代数多様体の有理連結射の構造を決定した. その過程で, 非特異な多様体を扱う際にはみえない, almost nef性, singular positively curved性の違いが明確になり, 擬有効性への理解が深まった. また, 適切な意味での層の平坦性の極大準エタール被覆上における振る舞いへの理解も深まった. また, Cao-HoringのNef反標準束に対する構造定理を3次元の場合にコンパクトKaehler多様体へ解析化した. その過程で, 昨年度に引き続き, 極小モデル理論と有理連結射の関係の一端が明らかになった. 証明では, ３次元の解析的極小モデル理論とオービフォルドベクトル束の解析的な側面を明らかにした. その過程でオービフォルドへの理解が深まった. この議論は３次元の特有のものであるが, 高次元のKaehler多様体へ一連の構造定理を一般化するためには有理曲線と有理連結射の射影性が主要問題であることを明らかにできた. 今後はこの方向で一連の成果の高次元のKaehler多様体への一般化を目指す.

2021年度は, Haidong Liu(北京大学)とともに, Calabi-Yau型の多様体上の強ネフ因子(strictly nef divisors)を研究した. この研究の動機は強ネフ因子に対するSerrano予想, 豊富性予想(ampleness conjecture), 一般化された非消滅予想に基づいている. 結果として, 不正則数が零となる４次元のCalabi-Yau型の多様体に対して, Serrano予想および豊富性予想を解決した. 特に, 4次元のハイパーケーラー多様体(正則シンプレクティック多様体)に対して, 上記の予想を解決した. その証明は２つの段階に分けられる. １つ目の段階では, Serrano予想をLC対に対して一般化した形で定式化し, 非消滅予想の仮定の下で極小モデル理論を利用しながら豊富性を証明した. この段階は代数幾何的な部分である. ２つ目の段階では, カレント(測度係数の微分形式)のBedford-Taylor積および高次カレントのSiu分解を用いて, 強ネフ因子に対して正則切断を構成し非消滅予想を証明した. この段階は複素解析的な部分であり, Lazic-Peternellの非消滅予想に対する先行研究が重要な役割を果たす. また, Juanyong Wang(中国科学院)とともに, ネフ反標準因子を持つKLT対の構造定理を研究した. 反標準因子のネフ性は多様体のある種の正曲率性である. その過程でこの構造定理や基本群の視点からLC特異点の困難さが明らかになってきた.