While there are lots of unsolved problems in arithmetic geometry, it is difficult to construct explicit examples because of abstraction. Using the arithmetic family of higher dimensional Calabi-Yau varieties, which has been constructed by the author, over the projective line of invertible 2, (1) we show an irreducible component of the degenerated fiber is a rigid Calabi-Yau variety over the field of rational numbers, and prove the modularity and the algebraicity of cohomology classes, and (2) study a 2-adic model and construct a K3 surface over a real quadratic field with everywhere good reduction. We also study p-adic properties of Frobenius actions arithmetically, and prove the constancy of Newton polygons of arbitrary F-isocrystals on Abelian varieties. This result has not been known so far.

We studied pure mathematics such as number theory, algebra, geometry, in an interdisciplinary manner. In addition, we studied there application in other branch of science and engineering. In pure mathematics side, we constructed a mixed elliptic motif obtained from universal family of elliptic curves. Also, given an l-adic linear representation of arithmetic fundamental group of an algebraic curve, we compared the image of the representation and the image of the Galois group of k-rational point of curves. As for applicational research, we developped a fast numerical integration algorithm based on quasi-Monte Carlo. The method depends on a point set (called Niederreiter-Xing point sets) whose basis is in the theory of rational points of algebraic curves). We introduced a new criteria for uniformity of point set named WAFOM, and our algorithm uses point sets obtained by scrambling Niederreiter-Xing point sets whose WAFOM value is small. Its effectiveness is empirically confirmed.

We studied properties of the arithemtic family of Calabi-Yau varieties, constructed by the representative of this research, for which the period integral is a generalized hypergeometric functions. In particular, if the dimension is odd, we found a semistable family around a degenerated fiber such that the number of irreducible components of the special fiber is two among which the one is rational and the other has an interesting natures with respect to arithmetic geometry. In particuler, we proved the modularity of the special fiber in dimension 3. In the case of dimension 2, we constructed a semistable family over an extension of Z which is ramified only at 2 and got a K3 surface over an algebraic number field such that it has a good reduction everywhere.

We investigated the foundation of p-adic methods in arithmetic geometry, rigid analytic technique and cohomology theory arising from differential forms (i.e., p-adic cohomology), and applied them to study arithmetic varieties. We construct p-adic Clemens-Schmid exact sequence for semistable families over algebraic curves of positive characteristic, which is a p-adic analogue of exact sequence describing kernel and cokernel of monodromy operations for semistable families over the complex unit disk. We studied the purity theorem for isocrystals and established the full faithfulness of restriction functors to open subschemes for isocrystals on geometrically unibranch varieties of positive characteristic. As a consequence, we proved pure of weight 1 for first rigid cohomology of proper and geometrically unibranch varieties. We also developed the weight theory in p-adic cohomology and the theory of arithmetic D-modules.

I find that non-logarithmic version is geometrically more important than the logarithmic one in ramification theory. I constructed the non-logarithmic theory of the characteristic cycle of an l-adic sheaf in codimension at most 1. Using the method of cutting by curves and established acyclicity of morphisms of varieties. For a sheaf on a surface, I defined the characteristic cycle everywhere on the surface and proved a formula for the Euler number and an analog of the Milnor formula on vanishing cycles. Though limited to surfaces, this is a significant result achieving the aim to construct a theory of characteristic cycles in higher dimension. I also studied the determinant and the second Stiefel-Whitney class of the Galois representation defined by l-adic cohomology of a variety of even dimension.

By using methods of geometric topology in arithmetic geometry, knowledges on topology (such as the cohomology of the mapping class groups) are utilized in researches on arithmetic geometry (such as outer Galois representations).(2)We developped a frame work to detect objects in arithmetic geometry by means of its combinatorial and categorical data.(3)We developped algebraic and geometric alogrithm for applications such as evaluation of pseudorandom number generators.

Dworkが1960年代に導入したp進線形微分方程式の解の対数的増大度に関して、昨年度に引き続き、Bruno Chiarellotto氏(パドバ大学)と共同で幾つかの結果を得た。DworkやRobbaらの先行する研究との最大の相違点は、解の対数的増大度のみを考えるのでなく、解空間に対数的増大度による階層を導入して、その性質を調べることにある。また、これは代数曲線上のF-アイソクリスタルの微分構造からp進局所系の整構造であるFrobenius構造が復元できるかという問題としてとらえることが出来る。昨年度の研究で、少なくとも階数2の場合には、解のTaylor係数の対数的増大度からFrobeniusスロープが決定できることが証明できた。今年度の研究では、階数の一般化へ向けた結果を得た。具体的には、局所体(環)上F-アイソクリスタルに対し 1.Dworkが提出した問題の定式化---対数的増大度の特殊化予想 2.一般・特殊点において、対数的増大層はFrobeniusのスロープ層に層として含まれること 3.一般点における対数的増大層とFrobeniusのスロープ層が一致する必要十分条件 4.A.GrothendieckとN.KatzによるFrobenius構造の特殊化定理の別証明 等を得た。Frobenius方程式を満たすp進単位円盤上の解析関数の対数的増大度の可能性から2が証明される。特殊な形のFrobenius方程式については対数的増大度が決定でき、有界F-アイソクリスタルFrobenius層の分裂定理と合わせて3を得る。また、この精密な評価から、階数2の場合は対数的増大層とFrobeniusのスロープ層は有界の場合を除き一致する。

As an application of geometric topology in the area of arithmetic geometry, М. Matsumoto and R. Hain Obtained the, following result : The action of the absolute Galois group of a number field on the unipotent fundamental group of a curve C attains the maximum size, if and only if the Galois cohomology cocycle corresponding to the algebraic cocycle C-C^- in the jacobian of C. This was published in J. of Institute of Mathematics Jussieu. More recently, the Galois action on the weighted completion of the mapping class group of the genus g>1 curves is proved to be crystalline and of mixed Tate type ; Whereas for g=1 it is not mixed Tate. Tamagawa constructed a resolution of nonsingularities of smooth curve family over DVR with mixed characteristic. This was published in Publications of RIMS. This results reduces the proper Grothendieck conjecture to the affine one. Mochizuki developped the theory of categorical arithmetic geometry and frobenioids, which give an approach to the ABC conjecture. Tsuzuki introduced the notion of the universal cohomology descendability and unimversal de Rham descendability for rigid cohomology, and obtaind an extention of Kedlaya's finite dimerisionality. Kimura developed the notion of finite dimensionality of a morphism of pure motives, and constructed many non-trivial examples of finite dimensional motives. Sigeyuki Morita studied the mapping class group and the derivation algebra of nilpotent fundamental groups, and obtained cohomological results and conjectures on the image of Soule elements. The paper was published in Proc. Sympos. Pure Mathematics. Matsumoto utilized the geometry of formal power series and Galois theory, to designe a new fast pseudorandom number generator taking full advantage of paralellism of recent CPUs. A paper is accepted in Proceedings of MCQMC2006.

The head investigator studied the cohomology theories for varieties of positive characteristic under the key words : tubular neighborhoods and cohomological descent. The contents are as follow ; (1)Construction of tubular neighborhoods of simplicial varieties, (2)Cohomological descent in rigid cohomology (partially collaborated with Chiarellotto), (3)Generic finiteness of relative rigid cohomology for proper and smooth morphisms, (4)Cohomological descent in de Rham cohomology and Hodge filtrations (collaborated with Chiarellotto), (5)Comparison map between rigid and de Rham cohomologies for simplicial families, and (6)Purity theorem for overconvergent isocrystals. Kato studied (1)Mumford curves and p-adic orbifolds with a covering which are Mumford curves (collaborated with Cornelissen), and (2)the foundations of rigid analytic spaces (collaborated with Fujiwara). Kimura studied the finite dimensionality of motives. Ito worked on algorithms of computing numbers of rational points of varieties over finite fields with the head investigator. Sugiyama studied (1)the BSD type problem in the Selberg Zeta functions for 3-dimentional manifolds and (2)a geometric analogue of Langlands correspondence. Shiho developed (1)the theory of crystalline fundamental group and (2)the theory of weights using logarithmic crystalline cohomology. Sumida studied several Iwasawa invariants for number fields. Taguchi had results on the finiteness of Galois representations with certain conditions (collaborated with Moon),. He also worked on the fast algorithm for computing numbers of rational points of elliptic curves over finite fields (collaborated with Sato),.

We investigated arithmetic geometry using a nonabelian invariant, the fundamental group. Head investigator proved the following : the derivation Lie algebra of Galois action on the fundamental group of projective line minus three points is generated by the Soule elements. This solves the generation conjecture by Deligne and Ihara. The result was published in Compositio Mathematicae. Using a similar construction, Head investigator proved the following result on the action of the arithmetic fundamental group of the moduli space on the fundamental group of curves. The image of the action of the absolute Galois group on the unipotent fundamental group of a curve C is maximal, if and only if the algebraic cycle C-C^-in the Jacobian of C has non-torsion image by l-adic Abel Jacobi map in the Galois cohomology. The result is to appear in J. Inst. Math. Jussieu. Tamagawa researched the reconstruction of a curve in the positive characteristic case from its geometric fundamental groups. He proved that it is possible if genus is zero, and is possible up to finite isomorphic classes in a general case. The result was published in J. Alg. Geom. Mochizuki is generalizing the anabelian geometry which reconstructs a scheme from its etale fundamental group, and is constructing a theory of categorical arithmetic geometry, which is expected to have a good contribution to ABC conjecture. Tsuzuki established the descent theory of the rigid cohomology and prove the finiteness of its dimension and degeneration of the weight spectral sequences. The result is published in Rend. Sem. Mat. Univ Padova. Kimura defined the notion of finite dimensionality of pure motives using symmetric and exterior products, and proved them in the case of curves. S. Morita made a good advance towards Faber's conjecture on the cohomology ring of the moduli space. The result was published in Topology.

平成13年度の研究では、正標数代数多様体の完備超被覆に関するrigid cohomologyのcohomology的降下理論を完成させた。証明の鍵は、universally cohomological descentという概念の導入と2元からなるイデアルでのblowing-upに対する複体のacyclicityの計算である。cohomology的降下理論から超被覆に関するrigid cohomologyのスペクトル系列が得られるので、P.Berthelotによる非特異代数多様体のrigid cohomologyの有限性定理と合わせると、一般の分離有限型代数多様体のrigid cohomologyの有限性が証明される。また、rigid cohomology上のFrobenius作用の同型性が導かれる。一般の分離有限型代数多様体の定数係数rigid cohomologyの有限性は、E..Klonneにより既に知られているが、cohomology的降下を用いる方法はより関手的であり見通しがよくなった。 rigid cohomologyは、正標数代数多様体の有限性、Poincare双対性などを満たす良いcohomology理論と思われている。cohomology的降下は、rigid cohomologyが良いcohomology論であることを示す重要なステップである。特に、完備超被覆に対する結果は、alterationの存在から、cohomologyの様々な性質を非特異代数多様体の場合に帰着する事を可能にするので、応用性が広い結果である。例えば、有限体上の分離有限型代数多様体に対して、l進理論と同様の重みの理論が成り立つことが証明できる。 この研究結果により、rigid cohomologyの性質の研究が大きく前進したと言える。

1.アフィン・リー代数の最高ウェイト表現の研究 研究代表者と柏原正樹(分担者)は,アフィン・リー代数の最高ウェイト表現の研究を行なった.特に臨界レベルのウェイトに関して研究を行ない,カジュダン・ルスティック型指標公式の予想を定式化した. 2.量子群の旗多様体の研究 研究代表者は,引き続き量子群の旗多様体の研究を行ない,特に非可換スキーム論の観点から,層係数コホモロジー・微分作用素・D加群等の非可換版について,それらのよい定式化を求める試みを行なった. 3.ラドン・ペンローズ変換の研究 研究代表者は,旗多様体上での拡張された意味でのラドン変換の研究を行ない,いわゆるBGG分解を用いて,ラドン変換の満たすスペクトル系列を得た. 4.正標数におけるD加群の研究 分担者の兼田正治は,正標数における簡約代数群の旗多様体上のD加群について考察した.特にそのコホモロジー群の消滅・代数群の表現との関係に関して考察を行なった. 5.バーンズ型積分の研究 分担者の三町勝久は,超幾何方程式・KZ方程式に関する研究を行なった.特にバーンズ型積分と種々の特殊多項式の関連に関するに詳しい考察を行ない,新たな結果を得た. 6.トロイダル代数の研究 分担者の斉藤義久は,引き続きトロイダル代数に関する研究を行ない,アフィンリー代数との関係をさらに明らかにした.またこの観点から,ソリトン型方程式との関連について考察した. 7.高次元境界値問題の研究 分担者の竹内潔は,代数解析的手法による微分方程式の研究を行なった.特に確定特異点型方程式の場合に高次元境界値問題に関する詳しい考察を行なった.

We proved the fundamental lemma for the unit element in the Hecke algebra for two relative trace formulas for GSp(4). Our ultimate goal is to prove Bocherer's conjecture on the central critical values of the quadratic twists of the spinor L-functions associated to holomorphic Siegel eigen cusp forms of degree two. The announcements of the fundamental lemma have been published in C. R. Acad. Sci. Paris and the details of the proof will appear elsewhere. In the course of the proof of the fundamental lemma, we evaluated certain matrix argument Kloosterman sums explicitly in terms of the classical GL(2) Kloosterman sums. We remark that our Kloosterman sum is a special case of the generalized Kloosterman sum which appears in the Fourier coefficients of the Poincare series for the Siegel modular group. Our result on the Kloosterman sum may be of some independent interest, since it is rare that such generalized Kloosterman is evaluated explicitly. Our second conjectural trace formula is related to the quadratic base charge for GSp (4). Our result suggests that the Jacquet-Ye criterion for the quadratic base change for GL(2) generalizes to GSp(4). This clearly deserves some further investigation. Finally our result implies that it is important to study the whole L-packet when we study the special values of automorphic L-functions. It seems very interesting to clarify the relationship between the period part of the special value expected by our result and Deligne's conjecture.

In this project, we studied algebraic intersection theory on singular varieties by the following two methods and obtained the following results : 1) Bivariant sheaf theory. If the Chow group of a singular algebraic variety X has a ring structure, then X is called an Alexander scheme. We constructed the topos C of algebraic varieties with the Grothendieck topology which is obtained by proper morphisms between algebraic varieties. Using this topos C, we introduced the Bivariant sheaves for algebraic varieties. It is showned that an algebraic variety X is an Alexander scheme if and only if H'(X, A) =0, where A is the Bivariant sheaf on X.In addition, we have started to study the higher cohomologies of Bivarinat sheaves in order to generalize the above result which might concern the problem on finite dimensionality of Motives that is the most important problem in the field of algebraic cycles and introduced the theory of Hyper-Covering to compute the higher cohomologies of Bivariant sheaves concretely. 2) Splitting of Vector Bundles. As for the splitting problem for rank two vector bundles on projective spaces which is one of the most important problem in the field of algebraic vector bundles, we obtained the following two results. (1) Let E be a rank two very ample vector bundle on P^n (n*4) and X an determinantal variety defined by global sections of E.Analyzing the structure of the Hilbert scheme of those determinantal varieties, it is shown that E splits into line bundles if and only if H^1 (P, End(E))=0, where P is a 4- or 5- dimensional linear subspace of P^n. (2) E is a direct sum of line bundles if and only if dimH^1(X, O_x(r-Z)) *O(r^1)(r*0) and diinH ^k(X, O_x(-Rz-_sH)) * P_k (s) (r, s>O) (l*k*dimX-l), where Z and H are specific effective divisors on the determinantal variety X and P_k (s) is a polynomial on s which is independent of r.

正標数(標数p)代数多様体上のp進局所系はoverconvergent F-isocrystalと呼ばれるrigid geometricな意味で標数0へ持ち上げた多様体上のFrobenius構造付きの微分加群の層で表される。当研究では、p進線型微分方程式系の研究を用いて、正標数代数多様体のp進cohomologyの有限性(有限モノドロミ-予想)に関する幾つかの結果を得た。以下、主な結果を表す。 代数曲線の場合では、quasi-unipotent overconvergent F-isocrystalと呼ばれるものについては、局所的にFrobeniusの作用に関するslope filtrationと呼ばれるものが一意的に入ることが示せた。(Crewにより、overconvergent F-isocrystalはquasi-unipotentであると予想されている。)この結果から、局所的にはquasi-unipotent overconvergent F-isocrystalのGrothendieck群はoverconvergent etale 〓-▽-moduleで生成されることが解り、L-関数やε-因子等の数論的対象の研究においてl-進理論の場合と同様にBrauer inductionと呼ばれる便利な方法が使えるようになった。 F-isocrystalのTate予想は、de Jongによるalterationの理論を用いると、1次元の局所的な場合に完全に帰着されるという結果を得た。この結果と以前得たetale 〓-▽加群の場合のTate型の定理と合わせると、unit-root F-isocrystalに制限すると一般の次元でTate予想が成立する。 当該研究を通して、p-進局所系の全体像が少しずつ見えてきた感じがする。

主として,筆者の定義したゲルファント超幾何方程式の拡張と,それに関連して生ずる表現論の問題について考察し,結果を得た. 以前の研究で,この方程式がホロノミー系になるためのひとつの十分条件は得られていたが,これについて更にリー群論的立場からの考察を行い,巾零軌道との関係を明らかにした. また,解の積分表示の存在について更に研究を進めた.どのような場合に解の積分表示がある種のラドン変換で与えられるかを定め,その場合のラドン変換の一般的性質について考察した.柏原正樹との共同研究で扱ったラドン変換は,射影直線に関するものであったが,今回は半単純リー群のある種の一般型放物部分群に関するものを対象とした.特に,ラドン変換の像がどのような方程式を満たすかという問題をD加群論の立場から研究した.ラドン変換の像が常にある種の方程式系(ヴァーマ加群と関連して具体的に書ける)をみたすことは証明できた.予想は,ラドン変換がもとの関係空間をその方程式系を満たす関数の全体に1対1にうつすということだが,全射性は有る意味で(D加群論的定式化のもとで)一般に言えた.単射性は,現在のところ一般線形群の場合のみが言えている.なお,この結果は実リー群の場合の大島利雄・関口英子の結果の複素ヴァージョンである.ある種のコホモロジー群の消滅が言えば,我々の結果から大島・関口の結果は従うのであるが,それは今後の問題である. その他,我々の超幾何方程式を定義する際の前提になっている,ヴァーマ加群の最大真部分加群についての有る事実の量子群版についても研究を行った.これは,今後我々の方程式を差分化する際に必要になるであろう基本的結果である.

一般化された超幾何関数は、変数が射影空間上の点の配置であって多くのパラメーターをもった関数である。この関数には変数を点の配置の双対にとりかえ、すべてのパラメーターの符号を変えるという作用が定まる。この作用に対する双対性の公式が、ねじれ(コ)ホモロジー群の交点理論、外積構造およびGauss-Manin systemの対称性から組合わせ論的にとてもきれいな形で得られ、公式内にあらわれるガンマ関数で表される因数の幾何学的な意味も解明された。 ねじれコホモロジー群における交点数の初等的計算手段が確立された。この理論を用いることにより、高階の局所系に付随するするねじれ(コ)ホモロジー群に関する交点理論が高山、小原氏(神戸大 理)との共同研究により完成した。この理論の他の応用として合流型超幾何関数に関するねじれ(コ)ホモロジー群における交点理論の研究が木村氏(熊本大 理)、原岡氏(熊本大 教養)との共同で展開されている。漸近展開可能な関数の解析がこの研究で重要であることが判明したので、この方面の専門家である真島氏(お茶の水大 理)との共同研究が始められた。 代数多様体のベクトル束上の接続と超幾何関数に関する研究が研究分担者隅広氏と開始された。 超幾何関数から自然に構成できる周期写像の逆写像として現われる対称空間上の保型形式に関して研究分担者菅野氏がcuspのまわりにおける展開定理を得た。この保型形式に関する無限積展開やL-関数に関しても研究が進んでいる。 有限体やp進体上の超幾何関数の研究の基礎となるこれらの体係数のねじれ(コ)ホモロジー群の同型定理や交点理論の確立に向けて研究分担者都築氏との共同研究が始まった。 ねじれ(コ)ホモロジー群の交点行列、Lie代数およびルート系に関する研究が研究代表者と研究分担者木幡氏で開始された。

平成6年度までの研究で、正標数完全体上の非特異代数曲線上でのp進局所系のうち、unit-root overconvergent F-isocrustalについては、代数曲線の基本群の有限monodromy表現と対応することが解り、R. Crewの結果と合わせるとそのp進cohomologyの有限性が得られていた。平成7年度の研究ではp進cohomologyの局所的な寄与に関することを中心に研究した。 局所的な場合の結果として、正標数局所体のGalois群の有限monodromy表現に対応するFrobenius構造付きの微分加群(overconvergent ψ-∇-modules)に対して、Robbaの定義したlocal indexを利用してirregularityという量が定義できることを示した。さらに、そのirregularityが対応するGalois表現のSwan導手と一致することを示した。この結果は、"Local Index and Swan conductor"という題の論文にまとめられている。階数が1の微分加群の場合はこれは松田の結果である。 証明のポイントは、微分加群のdirect imageにおいて有理関数で定義されている微分方程式が再び有理関数で表されることで、このとき、Robbaによる双対性が使えて誘導公式が成り立つことである。 大域的な結果として、特別な場合にはunit-root overconvergent F-isocrystal係数のcohomologyのEuler数は局所項がψ-∇-moduleのirregularityで与えられる。これはl進におけるWeil公式の類似である。このことは一般にも成り立つと予想される。

最近のカジュダン・ルスティック及びアンデルセン・ヤンツェン・ゾルゲルの結果により,正標数における半単純代数群の既約有理表現・量子群の1のべき根における既約表現・アフィン・リー代数の負レベルの既約最高ウェイト表現の3つが互いに関連していることがわかっていたが,そのうちのアフィン・リー代数の負レベルの既約最高ウェイト表現に関して柏原正樹氏と共同研究を行い,負レベルの有理的最高ウェイトをもつ既約表現に対して,カジュダン・ルスティック型指標公式が成立することを証明した.この結果と上記のカジュダン・ルスティック及びアンデルセン・ヤンツェン・ゾルゲルの結果を合わせて,正標数における半単純代数群の既約有理表現および量子群の1のべき根における既約表現の指標公式も同時に得られた.証明は,リー代数の表現とD加群の関係を与える代数解析的部分およびD加群と交叉ホモロジーをつなぐ位相的部分の二つに分かれる.代数解析的部分では,ラドン変換についての一般論を構築して,これを用いた.また位相的部分では,カッツ・ムーディ・リー代数のルート系の部分ルート系に関する考察を行いこれを用いてルスティックの結果を拡張した. エルミート対称空間上でゲルファント型の一般超幾何方程式を定義し,これに関して,方程式がホロノミー系になるための条件やラドン変換との関連について研究した. S.-J.カン氏との共同研究により,一般カッツ・ムーディ・リー代数の量子群について普遍R行列の存在を示し,その中心の構造について調べた.

ガウスの和とコーピの和は数論のなかでは、研究の歴史が古いにもかかわらず、たえず新しい見方を得てよみがえる、興味がつきることのない対象である。 これらを古典的に重要な関数であるガンマ関数とベータ関数との有限体上の類似物であるという見方も古いものではあるが、それを他の特殊関数に適用してみるということはほとんどなされなかった。超幾何関数が特殊関数のなかで広い領域で重要な役割をはたしていることは、周知のことであるが、それの有限体上の類似物が考えられたのは比較的最近のことで、しかも彼の研究は関数論的な類似を追うことが主眼で、数論的な性質を調べ、それを数論へと応用することは少なかった。その方向に一歩前進させたのが本研究である。 この研究を続けるうちに、もうひとつ別な類似物が既に研究されていることにきずいた。それは有限体上の超楕円曲線のj-不変量を根として持つ多項式がやはり超幾何関数と関係していた。この有限体上の超幾何多項式と呼ばれるものは、断片的に研究されているが、組織だっての研究は手がけられていなかった。これらふたつの類似物の関係を調べることも興味ある結果につながった。 そこでガウスの和の研究を始めたガウス自身が超幾何関数の研究も始めていたという事実が、以外と根の深いところでは絡みあっていたことをうかがわせる。円分体、楕円曲線、楕円関数と数論の興味ある対象が互いにつながっている様子がガウスには見えていたようだ。 この研究では有限体上の計算を数式処理システムが極めて有効に実行してくれることが確信できた。

当期間内での研究として、正標数代数多様体上のp-進局所系でp-進表現に対応するものに対して、局所モノドロミー理論の基礎付けを行った。一般に、正標数代数多様体上のp-進局所系とは標数0に持ち上げたものの上のFrobenius構造と可積な微分を持つ加群-ψ-▽-加群-のことである。例えば、0次元の場合にはp-進局所系はDieudonne加群に他ならず、ガロア群のp-進表現にはすべてのスロープが0であるDieudonne加群が対応する。この研究においては、l-進理論との類似を考慮しながら、局所体上のp-進表現についての考察を行った。Fontaineは、局所体Fの絶対ガロア群のp-進表現の圏とetaleψ-構造を持つε-ベクトル空間の圏とが圏同値になることが示している。ここで、εはFrobenius写像を込めたFの標数0への持ち上げである。[1]では、Fontaineのetaleψ-加群の圏の中に充満忠実なoverconvergent etaleψ-▽-加群の部分圏を定義した。[2]では、有限モノドロミーを持つ-惰性部分群が有限商を経由して作用-Fの絶対ガロア群のp-進表現の圏と[1]で定義した圏が圏同値になることを示した。ここで重要な役割を果たしたのは、p-進解析である。etaleな場合には、これで局所モノドロミー理論の枠組みができたことになる。以上の局所理論は、大域理論へ応用される。完全体上の非特異代数的曲線の代数基本群の局所有限モノドロミーを持つp-進表現の圏は、unit-root overconvergent F-(iso)crystal の圏と圏同値になる。 1.The overconvergence of morphisms of ψ-▽-spaces on local field,preprint,(1993). 2.Finite monodromy of p-adic representations on local field with positive characteristics,preprint,(1994).