研究者詳細

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ヤマザキ タケシ
山崎 武
Takeshi Yamazaki
所属
大学院理学研究科 数学専攻 応用数理講座
職名
准教授
学位
  • 博士(理学)(東北大学)

  • 修士(理学)(東北大学)

所属学協会 3

  • 国際数理科学協会

  • The association for Symbolic Logic

  • 日本数学会

研究キーワード 4

  • 再帰理論

  • 超準モデル

  • 二階算術

  • 逆数学

研究分野 2

  • 自然科学一般 / 応用数学、統計数学 /

  • 自然科学一般 / 数学基礎 /

論文 15

  1. Reverse mathematics and order theoretic fixed point theorems 査読有り

    Takashi Sato, Takeshi Yamazaki

    Archive for Mathematical Logic 56 (3 and 4) 385-396 2017年3月

  2. COMMUTING QUANTUM CIRCUITS WITH FEW OUTPUTS ARE UNLIKELY TO BE CLASSICALLY SIMULATABLE 査読有り

    Yasuhiro Takahashi, Seiichiro Tani, Takeshi Yamazaki, Kazuyuki Tanaka

    QUANTUM INFORMATION & COMPUTATION 16 (3-4) 251-270 2016年3月

    ISSN:1533-7146

  3. Commuting Quantum Circuits with Few Outputs are Unlikely to be Classically Simulatable 査読有り

    Yasuhiro Takahashi, Seiichiro Tani, Takeshi Yamazaki, Kazuyuki Tanaka

    COMPUTING AND COMBINATORICS 9198 223-234 2015年

    DOI: 10.1007/978-3-319-21398-9_18  

    ISSN:0302-9743

  4. Hardness of classically simulating quantum circuits with unbounded Toffoli and fan-out gates. 査読有り

    Yasuhiro Takahashi, Kazuyuki Tanaka, Takeshi Yamazaki

    Quantum Inf. Comput. 14 (13-14) 1149-1164 2015年

    DOI: 10.26421/QIC14.13-14-7  

  5. On the Ramseyan factorization theorem 査読有り

    Shota Murakami, Takeshi Yamazaki, Keita Yokoyama

    Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 8493 324-332 2014年

    出版者・発行元: Springer Verlag

    DOI: 10.1007/978-3-319-08019-2_33  

    ISSN:1611-3349 0302-9743

  6. Hardness of classically simulating quantum circuits with unbounded Toffoli and fan-out gates 査読有り

    Yasuhiro Takahashi, Takeshi Yamazaki, Kazuyuki Tanaka

    Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioinformatics) 8087 801-812 2013年

    DOI: 10.1007/978-3-642-40313-2_70  

    ISSN:0302-9743 1611-3349

  7. Relative randomness for Martin-Löf random sets 査読有り

    NingNing Peng, Kojiro Higuchi, Takeshi Yamazaki, Kazuyuki Tanaka

    HOW THE WORLD COMPUTES, Lecture Notes in Comput. Sci. 7318 581-588 2012年6月

    DOI: 10.1007/978-3-642-30870-3_58  

    ISSN:0302-9743 1611-3349

  8. Generalization of complexity oscillations in infinite sequences 査読有り

    ChenGuang Liu, Kazuyuki Tanaka, Takeshi Yamazaki

    4th International Conference on Natural Computation (ICNC'08) 299-303 2008年10月

    DOI: 10.1109/ICNC.2008.915  

  9. The quasi-equivalence between the definitions of partial randomness 査読有り

    ChenGuang Liu, Kazuyuki Tanaka, Takeshi Yamazaki

    4th International Conference on Natural Computation (ICNC'08) 371-375 2008年10月

    DOI: 10.1109/ICNC.2008.916  

  10. Does truth-table of linear norm reduce the one-query tautologies to a random oracle? 査読有り

    Masahiro Kumabe, Toshio Suzuki, Takeshi Yamazaki

    ARCHIVE FOR MATHEMATICAL LOGIC 47 (2) 159-180 2008年7月

    DOI: 10.1007/s00153-008-0076-4  

    ISSN:1432-0665

  11. Reverse mathematics and weak systems of 0-1 strings for feasible analysis 査読有り

    Takeshi Yamazaki

    Reverse mathematics 2001 2005年

  12. Manipulating the reals in RCAo 査読有り

    Kazuyuki Tanaka, Takeshi Yamzaki

    Reverse mathematics 2001 2005年

  13. Uniform versions of some axioms of second order arithmetic 査読有り

    N Sakamoto, T Yamazaki

    MATHEMATICAL LOGIC QUARTERLY 50 (6) 587-593 2004年

    DOI: 10.1002/malq.200310122  

    ISSN:0942-5616

  14. Some conservation results on weak König's lemma 査読有り

    Stephen G. Simpson, Kazuyuki Tanaka, Takeshi Yamazaki

    Annals of Pure and Applied Logic 118 (1-2) 87-114 2002年12月

    DOI: 10.1016/S0168-0072(01)00121-X  

    ISSN:0168-0072

  15. A non-standard construction of Haar measure and weak König's lemma 査読有り

    Kazuyuki Tanaka, Takeshi Yamazaki

    Journal of Symbolic Logic 65 (1) 173-186 2000年

    出版者・発行元: Association for Symbolic Logic

    DOI: 10.2307/2586530  

    ISSN:0022-4812

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MISC 1

  1. Truth-table reductions and minimum sizes of forcing conditions

    Masahiro Kumabe, Toshio Suzuki, Takeshi Yamazaki

    数理解析研究所講究録 1553 9--14 2007年

書籍等出版物 2

  1. ゲーデルと20世紀の論理学3不完全性定理と算術の体系

    田中一之, 鹿島亮, 山崎武, 白旗優

    東京大学出版会 2007年3月15日

  2. 確かさを求めて 数学の基礎についての哲学論考

    田中一之監訳

    2007年1月15日

講演・口頭発表等 9

  1. WKL0とPRAのPi^0_2保存性

    AIG 4 2016年1月10日

  2. Reverse Mathematics and Equilibria of Continuous Games 国際会議

    Computability Theory and Foundations of Mathematics 2015 2015年9月7日

  3. Some Fixed Point Theorems and Reverse Mathematics II 国際会議

    JSPS-NUS Joint Workshop in Mathematical Logic and Foundations of Mathematics 2015年3月6日

  4. Some Fixed Point Theorems and Reverse Mathematics 国際会議

    IMS-JSPS joint workshop 2014年9月1日

  5. Filters and Reverse Mathematics 国際会議

    Workshop on Reverse Mathematics and Type Theory 2013年3月

  6. Reverse Mathematics and Commutative Ring Theory 国際会議

    Computability Theory and Foundations of Mathematics 2013年2月

  7. Infinite Planar graphs and Reverse Mathematics 国際会議

    Logic seminar in Gent University 2011年9月2日

  8. 二階算術における代数学の展開

    佐藤隆, 横山啓太

    日本数学会 2007年9月

  9. More on the partial randomness of reals

    ChenGuang Liu

    日本数学会 2007年9月

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共同研究・競争的資金等の研究課題 9

  1. 逆数学 競争的資金

    制度名:The Other Research Programs

    2000年4月 ~ 継続中

  2. 二階算術のモデルについて 競争的資金

    制度名:The Other Research Programs

    2000年4月 ~ 継続中

  3. ランダム性の計算的諸相と超準的手法によるその構造解析

    田中 一之, 山崎 武, 鈴木 登志雄, 只木 孝太郎, 黒田 覚, 横山 啓太

    提供機関:Japan Society for the Promotion of Science

    制度名:Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目:Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関:Tohoku University

    2011年4月1日 ~ 2015年3月31日

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    本研究のねらいは、数学基礎論的方法、とくに超準モデルを用いる手法により、ランダムネスのダイナミズムを巨視的かつ組織的に捉え、ランダム性に対する理解を一層深めると共に、その根底にある確率やゲームの基本概念に対して新たな計算論的知見を得ることにある。本研究ではとくに次の5つの小テーマを軸に計算的な問題を講究する。(1) 構成的測度論の超準解析的議論の枠組み。 (2) ランダム性の概念に基づく計算構造。(3) ランダム決定木についての考察。(4) Chaitinの停止確率Ωの物理的性質。(5) ゲームの決定性に関する論理的扱い。

  4. 量子力学に基づく新しい計算モデルの構築に向けて

    田中 一之, 只木 孝太郎, 山崎 武

    提供機関:Japan Society for the Promotion of Science

    制度名:Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目:Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research

    研究機関:Tohoku University

    2011年 ~ 2012年

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    本研究は、従来の量子計算機とは異なった測定ベースの量子力学的計算モデルを提案して、その計算能力や計算効率について、旧来の計算モデルと比較しながら計算理論的に考察することを主題としている。とくに、深さ固定の多項式サイズ量子回路において、非有界なファンアウト・ゲートを加えると多項式時間での古典模倣ができなくなる場合があることを示した。また、無限次元状態空間における観測量の測定によって計算可能集合たちを表す新しい量子計算機について考察した。

  5. 逆数学のための算術のモデルの研究

    山崎 武

    提供機関:Japan Society for the Promotion of Science

    制度名:Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目:Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

    研究機関:Tohoku University

    2007年 ~ 2010年

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    二階算術の枠組みにおいて,どれくらいの強さの集合存在公理図式があれば証明されるのに必要十分であるかという観点から,数学の定理を分類する試みが逆数学である.本研究では逆数学に関連して主に次の3種類の結果を得た.(1)二階算術のオメガモデルの構成法と部分体系の保存性.(2)新しいランダム性の導入と対応する形式体系.(3)Tutteの定理などの離散数学と,特に加群に関する可換環論の逆数学的結果.

  6. 超準解析と計算可能性理論の融合-ランダム性へのロジカル・アプローチ-

    田中 一之, 山崎 武, 服部 哲哉, 小澤 正直, 鈴木 登志雄, 黒田 覚, 隈部 正博, 鹿島 亮, 服部 哲弥, 小澤 正直, 黒田 覚, 隈部 正博

    提供機関:Japan Society for the Promotion of Science

    制度名:Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目:Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関:Tohoku University

    2007年 ~ 2010年

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    本研究の主題は, 超準的手法の論理的基礎付けである. 従来集合論をベースに行われた超準的議論を, 計算可能性と結びついた2階算術の弱い体系において実行することにより, 命題の構成的な内容まで超準的に得られるようにする. 代表者が考案した2階算術の超準的方法論の改良と整備を行いながら, 2階算術の超準モデルを研究し, 同時に実数集合の計算構造について探査する. とくに, ランダムな無限列としての実数とその集合の性質を調べる.

  7. 逆数学および算術の体系に関する研究

    山崎 武

    2004年 ~ 2006年

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    二階算術の枠組みにおいて、どれくらいの強さの集合存在公理図式があれば証明されるのに必要十分であるかという観点から、数学の定理を分類する試みを逆数学という.より厳密には、計算機が使える程度の数学領域に対応する形式体系のもとで、吉の数学の定理とある集合存在公理図式の同値性を証明する.したがって、その逆数学はここの具体的な数学対象の計算論及び再帰理論的な性質の研究と関係している.本年度は次の4点に着目しながら逆数学及び再帰理論からの応用を中心にその周辺の研究を行った. (1)無限群に関する再帰理論的研究.無念軍の中心の存在と算術的内包公理の同値性の別証をはじめとする基礎的な事柄についての成果をいくつか得られたが,発展的内容にっいては今後の課題である. (2)保存性に関する二階算術のモデル論的研究.RCAの任意のcountable modelは1つの集合で生成されるRCAのオメガーモデルであるという以前の結果を利用し,RCA + collection schemeはRCAの算術的論理式に関する保存的拡大であることの簡単な証明を得た.現在は,RCA以上の体系とcollection schemeのベーターモデルにおける関係を考察中である. (3)一般的な位相構造における逆数学.従来の逆数学では言語の制限上,位相空間としては完備可分距離空間のみが扱われてきた.しかし、Stone spaceなどもRCAよりも強い体系においては扱える.そこで、より一般的な観点から位相構造に関する逆数学を調べた. (4)部分的ランダム性の考察.0-1無限列のランダム性には様々な定義があるが,同じような形でそれらの部分的な条件を緩めるとその同値性がこわれることが知られている.そこで、劉晨光氏と共に、このような部分的ランダム性のいくつかの新しい概念を導入し、それらの分類を行っている.また、ランダム性とラムゼイの定理との関係、それに対応する逆数学及び二階算術のモデルの特性も調べている. また、逆数学に関する話題を自身の研究内容も踏まえて、田中一之編「ゲーデルと20世紀の論理学 3 不完全性定理と算術の大系」第二部「二階算術ち逆数学」を書いた.

  8. 不連続関数の計算可能性-そのパラダイムを目指して-

    八杉 満利子, 辻井 芳樹, 森 隆一, 山田 修司, 立木 秀樹, 林 晋, 山崎 武

    提供機関:Japan Society for the Promotion of Science

    制度名:Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目:Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関:Kyoto Sangyo University

    2004年 ~ 2006年

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    ユークリッド距離で不連続なある関数族の計算可能概念の確立の手法として最も有効かつ自然なものは、不連続点の孤立化によって関数の定義域を一様位相化し、それらの関数を連続関数にすることである。その一般論とともに、実効的一様位相空間、とくにFine距離空間、における連続関数の実効的性質をほぼ完全に解明した。また、異なる不連続点をもつ関数列の計算問題を扱うために、実効的一様位相列とその極限の理論を展開した。 課題研究のためのもうひとつの手法は、計算可能列の不連続関数による像列の特徴付けに極限再帰関数を認める理論である。ある自然な条件下では実効的一様位相理論と極限再帰性理論が同値になることを示すことができた。これを総合すれば、実効的一様位相(列)の理論が不連続関数の計算可能性を特徴づける基本的方法論であることを保証するといえる。 極限再帰性とΣ^0_1排中律は構成的算術上で同値である。Σ^0_1排中律と他の準構成的な原理との同値・強弱関係が明らかにされた。 関数解析については、主にBanach空間における諸定理の実効化の研究が進んだ。 計算可能性の根幹である実数の計算可能性のために、0,1,ボトムの無限列による表現について、計算概念、ドメイン理論、位相空間の概念の3方向から考察した。 点列計算可能であるが実効的に連続な点がない関数列、Banach-Mazur計算可能であるがMarkov計算可能でない関数の例が構成された。 応用では、2重回転写像のダイナミックス、多部門成長経済における逆問題の記述、無限個の縮小写像を基にしたフラクタル図形の計算可能性問題、非自明な結び目の発見のためのハードとプログラムの再編成、などが進んだ。

  9. 超準的手法と構成的手法の比較研究

    田中 一之, 赤間 陽二, 竹田 雅好, 森田 康夫, 山崎 武

    提供機関:Japan Society for the Promotion of Science

    制度名:Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目:Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関:Tohoku University

    2001年 ~ 2003年

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    解析学を基礎付ける土台としてHilbertが導入した2階算術には,様々な種類の形式化が存在する.なかでも計算可能な関数や集合を扱う体系RCA_0と,それにコンパクト性の議論を付加した体系WKL_0は,解析学の基礎として十分な強さを持ちながら,無矛盾性に関してはPRA(「有限の立場」の形式化)と同等になることから,Hilbertのプログラムに関連して重要な意義をもつ.田中と山崎は,S.Simpsonの協力の下で、WKL_0におけるある形の定理に対して,その証明からコンパクト性の議論を取り除けること,すなわちRCA_0における証明に変換できることを証明する一方,コンパクト性と類似する有界従属選択公理に対しては,その使用を一斉には消去できないことを示した.そこで,いくつかの定理について個別に有界従属選択の消去可能性を議論し,その背後にある一般的な原理を探った.たとえば,実数や複素数に関する命題の多くは,量化記号消去定理を用いて充足関係を導入することで有界従属選択の使用を避けることができることがわかった.Simpson-田中-山崎の結果は,WKL_0の高階算術化が難しいことを意味しており,この状況を厳密に調べる研究の一つが山崎と坂本伸幸によってなされた.すなわち,WKL_0等の高階一様版はWKL_0より真に強い原理になる.また,山崎は,多項式時間計算の体系における逆数学現象や,直観主義理論の完全性定理に必要となる公理についても調べた.赤間は,部分組合せ代数の中に極限操作を導入し,そこで表現できる関数とlimiting recursive functionとの関係を調べた. 最後に,田中は,超算術的選択公理HACに対して,13種類のバリエーションを定義し,それぞれと同値な公理を決定した.

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社会貢献活動 1

  1. 数学基礎論サマースクール2006

    2006年8月31日 ~ 2006年9月2日

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    証明論に関する専門家を講師として,入門的な内容から最新の話 題まで様々な講義をする.二階算術のモデルについての基礎的な事柄と現在行っている研究の基になる考えについて解説した.