東北大学研究者紹介

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タケウチ　キヨシ

竹内　潔

Kiyoshi Takeuchi

所属

大学院理学研究科　数学専攻　多様体論講座

職名

教授

学位

博士（数理科学）（東京大学）
修士（理学）（東京大学）

researchmap

https://researchmap.jp/read0046104

J-GLOBAL ID

200901038891748944

所属学協会 1

日本数学会

研究分野 1

自然科学一般 / 基礎解析学 /

論文 48

On a Bernstein-Sato polynomial of a meromorphic function 査読有り

K. Takeuchi

Nagoya Math. Journal　2023年9月
On the monodromies and the limit mixed Hodge structures of families of algebraic varieties 査読有り

T. Saito, K. Takeuchi

Michigan Math. J.　2023年9月
Meromorphic nearby cycle functors and monodromies of meromorphic functions (with Appendix by T. Saito) 査読有り

T.T. Nguyen and K. Takeuchi

Revista Matematica Complutense　2023年2月
On the monodromy conjecture for non-degenerate hypersurfaces 査読有り

A. Esterov, A. Lemahieu, K. Takeuchi

J. of European Mathematical Society　24　3873-3949　2022年1月
The bifurcation set of a rational function via Newton polytopes 査読有り

T.T. Nguyen, T. Saito, K. Takeuchi

Math. Zeitschrift　298　3873-3949　2021年1月
On irregularities of Fourier transforms of regular holonomic D-modules 査読有り

Takeuchi, Kiyoshi

Advances in Math.　2020年6月
On some topological properties of Fourier transforms of regular holonomic D-modules 査読有り

Takeuchi,Kiyoshi

Canadian Mathematical Bulletin　63　(2)　454-468　2020年6月
Bifurcation values of polynomial functions and perverse sheaves 査読有り

Takeuchi,Kiyoshi

Annales de l'Institut Fourier　2019年
Hyperbolic localization and Lefschetz fixed point formulas for higher-dimensional fixed point sets

Ike, Yuichi, Matsui, Yutaka, Takeuchi, Kiyoshi

Int. Math. Res. Not.　(15)　4852-4898　2017年
出版者・発行元： OXFORD UNIV PRESS
DOI： 10.1093/imrn/rnx030 　

ISSN：1073-7928

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We study Lefschetz fixed point formulas for constructible sheaves with higher-dimensional fixed point sets. Under fairly weak assumptions, we prove that the local contributions from them are expressed by some constructible functions associated to hyperbolic localizations. This gives an affirmative answer to a conjecture of Goresky-MacPherson [8] in particular for smooth fixed point components (see [9, page 9, (1.12) Open problems]). In the course of the proof, the new Lagrangian cycles introduced in our previous article [20] will be effectively used. Moreover, we show various examples for which local contributions can be explicitly determined by our method.
On the sizes of the Jordan blocks of monodromies at infinity 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

HOKKAIDO MATHEMATICAL JOURNAL　44　(3)　313-326　2015年10月

ISSN：0385-4035
CONFLUENT A-HYPERGEOMETRIC FUNCTIONS AND RAPID DECAY HOMOLOGY CYCLES 査読有り

Alexander Esterov, Kiyoshi Takeuchi

AMERICAN JOURNAL OF MATHEMATICS　137　(2)　365-409　2015年4月

ISSN：0002-9327

eISSN：1080-6377
Monodromies at infinity of confluent A-hypergeometric functions 査読有り

Kama Ando, Alexander Esteroy, Kiyoshi Takeuchi

ADVANCES IN MATHEMATICS　272　1-19　2015年2月

DOI： 10.1016/j.aim.2014.10.024 　

ISSN：0001-8708

eISSN：1090-2082
Motivic Milnor Fibers and Jordan Normal Forms of Milnor Monodromies 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

PUBLICATIONS OF THE RESEARCH INSTITUTE FOR MATHEMATICAL SCIENCES　50　(2)　207-226　2014年6月

DOI： 10.4171/PRIMS/130 　

ISSN：0034-5318
INVERTIBLE POLYNOMIAL MAPPINGS VIA NEWTON NON-DEGENERACY 査読有り

Ying Chen, Luis Renato G. Dias, Kiyoshi Takeuchi, Mihai Tibar

ANNALES DE L INSTITUT FOURIER　64　(5)　1807-1822　2014年

ISSN：0373-0956
MEROMORPHIC CONTINUATIONS OF LOCAL ZETA FUNCTIONS AND THEIR APPLICATIONS TO OSCILLATING INTEGRALS 査読有り

Toshihisa Okada, Kiyoshi Takeuchi

TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL　65　(2)　159-178　2013年6月

ISSN：0040-8735
Monodromy at infinity of polynomial maps and newton polyhedra (with an Appendix by C. Sabbah) 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

International Mathematics Research Notices　2013　(8)　1691-1746　2013年
出版者・発行元： OXFORD UNIV PRESS
DOI： 10.1093/imrn/rns092 　

ISSN：1073-7928 1687-0247
多項式写像と A-超幾何関数の無限遠点におけるモノドロミー査読有り

竹内潔, 松井優

數學　64　(3)　225-253　2012年7月
出版者・発行元：日本数学会
DOI： 10.11429/sugaku.0643225 　

ISSN：0039-470X
Motivic Milnor Fibers over Complete Intersection Varieties and their Virtual Betti Numbers 査読有り

Alexander Esterov, Kiyoshi Takeuchi

INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES　2012　(15)　3567-3613　2012年

DOI： 10.1093/imrn/rnr154 　

ISSN：1073-7928
Monodromy zeta functions at infinity, Newton polyhedra and constructible sheaves 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT　268　(1-2)　409-439　2011年6月

DOI： 10.1007/s00209-010-0678-5 　

ISSN：0025-5874
MILNOR FIBERS OVER SINGULAR TORIC VARIETIES AND NEARBY CYCLE SHEAVES 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL　63　(1)　113-136　2011年3月

ISSN：0040-8735
A geometric degree formula for A-discriminants and Euler obstructions of toric varieties 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

ADVANCES IN MATHEMATICS　226　(2)　2040-2064　2011年1月

DOI： 10.1016/j.aim.2010.08.020 　

ISSN：0001-8708
Monodromy at infinity of A-hypergeometric functions and toric compactifications 査読有り

Kiyoshi Takeuchi

MATHEMATISCHE ANNALEN　348　(4)　815-831　2010年12月

DOI： 10.1007/s00208-010-0501-y 　

ISSN：0025-5831
Microlocal Study of Lefschetz Fixed-Point Formulas for Higher-Dimensional Fixed Point Sets 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

INTERNATIONAL MATHEMATICS RESEARCH NOTICES　2010　(5)　882-913　2010年

DOI： 10.1093/imrn/rnp163 　

ISSN：1073-7928
Monodromies at infinity of polynomial maps and A-hypergeometric functions 査読有り

K., Takeuchi

Proceedings of the Centre for Mathematics and its Applications　43　141-174-174　2010年1月
A-discriminants and Euler obstructions of toric varieties (Differential Equations and Exact WKB Analysis) 査読有り

MATSUI, Yutaka, TAKEUCHI, Kiyoshi

RIMS Kokyuroku Bessatsu　10　(0)　149-165　2008年11月
出版者・発行元：京都大学
ISSN：1881-6193
Topological radon transforms and degree formulas for dual varieties 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　136　(7)　2365-2373　2008年

ISSN：0002-9939
Topological Radon Transforms and Their Applications (Algebraic Analysis and the Exact WKB Analysis for Systems of Differential Equations) 査読有り

MATSUI, Yutaka, TAKEUCHI, Kiyoshi

RIMS Kokyuroku Bessatsu　5　(0)　225-240　2008年1月
出版者・発行元：京都大学
ISSN：1881-6193
Microlocal study of topological Radon transforms and real projective duality 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

ADVANCES IN MATHEMATICS　212　(1)　191-224　2007年6月

DOI： 10.1016/j.aim.2006.10.001 　

ISSN：0001-8708
Perverse sheaves and Milnor fibers over singular varieties 査読有り

K., Takeuchi

Advanced Studies in Pure Mathematics　46　211-222-222　2007年1月
Generalized Plucker-Teissier-Kleiman formulas for varieties with arbitrary dual defect 査読有り

Yutaka Matsui, Kiyoshi Takeuchi

REAL AND COMPLEX SINGULARITIES　248-+　2007年
Topological Radon Transforms and Projective Duality(Recent Topics on Real and Complex Singularities)

松井, 優, 竹内, 潔

数理解析研究所講究録　1501　(0)　132-146　2006年7月
出版者・発行元：京都大学
ISSN：1880-2818
Characteristic cycles of perverse sheaves and Milnor fibers 査読有り

P Nang, K Takeuchi

MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT　249　(3)　493-511　2005年3月

DOI： 10.1007/s00209-004-0712-6 　

ISSN：0025-5874
Dimension formulas for the hyperfunction solutions to holonomic D-modules 査読有り

K., Takeuchi

Advances in Math　180　134-145　2003年1月
Notes on the Canchy-Kowalevski theorem for E-modules 査読有り

Y., Sugiki, K., Takeuchi

J. Funct. Anal　181　1-13　2001年1月
Microlocal vanishing cycles and ramified Cauchy problems in the Nilsson class 査読有り

K Takeuchi

COMPOSITIO MATHEMATICA　125　(1)　111-127　2001年1月

ISSN：0010-437X
On the solvability of operators with multiple characteristics 査読有り

H Koshimizu, K Takeuchi

COMMUNICATIONS IN PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS　26　(9-10)　1691-1720　2001年

ISSN：0360-5302
Extension theorems for the distribution solutions to D-modules with regular singularities 査読有り

H Koshimizu, K Takeuchi

PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　128　(6)　1685-1690　2000年

ISSN：0002-9939
A Hartogs-type theorem for solutions to systems with regular singularities 査読有り

K., Takeuchi

Arch der Math　73　(5)　390-393　1999年1月
Microlocal inverse image and bimicrolocalization 査読有り

Kiyoshi Takeuchi

Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences　34　(2)　135-153　1998年
出版者・発行元： Kyoto University
DOI： 10.2977/prims/1195144758 　

ISSN：0034-5318
Edge-of-the-wedge type theorems for hyperfunction solutions 査読有り

Kiyoshi Takeuchi

Duke Mathematical Journal　89　(1)　109-132　1997年

DOI： 10.1215/S0012-7094-97-08907-9 　

ISSN：0012-7094
On higher-codimensional boundary value problems

K., Takeuchi

New trends in microlocal analysis　1997年1月
出版者・発行元： Springer
On the solvability of partial differential equations 査読有り

H., Koshimizu, K., Takeuchi

Proc. Japan Academy　72　131-133　1996年1月
Microlocal boundary value problem in higher codimensions 査読有り

K Takeuchi

BULLETIN DE LA SOCIETE MATHEMATIQUE DE FRANCE　124　(2)　243-276　1996年

ISSN：0037-9484
Binormal deformation and bimicrolocalization 査読有り

Kiyoshi Takeuchi

Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences　32　(2)　277-322　1996年
出版者・発行元： Kyoto University
DOI： 10.2977/prims/1195162965 　

ISSN：0034-5318
Etude microlocale des problemes aux limites en codimension superieure

K., Takeuchi

Compte Rendu Acad, Sci.　320　441-443　1995年1月
Theoremes de type edge of the wedge pour les solutions hyperfonctions

K., Takeuchi

Compte Rendu Acad, Sci.　321　1333-1336　1995年1月
Deformation binormale et bispecialisation

P., Schapira, K., Takeuchi

Compte Rendu Acad, Sci.　319　707-712　1994年1月
On the second microlocalization along isotropic submanifolds 査読有り

K., Takeuchi

Proc. Japan Academy　69　(5)　136-139　1993年1月

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MISC 2

Higher codimensional BVP for $\mathcal{D}$-modules (Complex Analysis and Microlocal Analysis)

竹内潔

数理解析研究所講究録　1090　87-99　1999年4月
出版者・発行元：京都大学
ISSN： 1880-2818
Cauchy Problems for Sheaves and its Applications(Study of Partial Differential Equations by means of Functional Analysis)

小清水寛, 竹内潔

数理解析研究所講究録　969　58-68　1996年10月
出版者・発行元：京都大学
ISSN： 1880-2818

書籍等出版物 2

D加群

竹内,潔

共立出版　2017年8月
D-modules, perverse sheaves and representation theory

R., Hotta, K., Takeuchi, T., Tanisaki

Birkhauser　2007年1月

講演・口頭発表等 14

On irregularities of Fourier transforms of regular holonomic D-modules 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

27th ICFIDCAA Krasnoyarsk　2019年8月
Meromorphic nearby cycle functors and monodromies of meromorphic functions 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

Non-isolated singularities and derived geometry　2019年7月29日
Exponential factors and Fourier transforms of D-modules 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

Higgs bundles and D-modules　2019年6月3日
On irregularities of Fourier transforms of regular holonomic D-modules 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

Riemann-Hilbert correspondences　2018年2月6日
On the monodromy conjecture for non-degenerate hypersurfaces 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

3rd PRIMA congress in Oaxaca　2017年8月
On the monodromies and the limit mixed Hodge structures of families of algebraic varieties 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

Singularity theory conference　2017年7月12日
On the monodromies and the limit mixed Hodge structures of families of algebraic varieties 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

Iberian Meeting on Algebraic Analysis　2016年6月9日
多項式写像の無限遠点における特異性とモノドロミー招待有り

竹内,潔

トポロジーシンポジウム　2014年7月28日
Monodromies and asymptotic expansions at infinity of confluent A-hypergeometric functions 国際会議招待有り

竹内,潔

First Joint International Meeting RSME-SCM etc.　2014年6月30日
Bifurcation points of polynomial functions and perverse sheaves 招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

超平面と超曲面特異点のトポロジー　2014年4月26日
合流型A-超幾何関数のモノドロミーについて招待有り

竹内,潔

超幾何方程式研究会 2014　2014年1月7日
Toric compactifications for polynomial maps and their applications 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

The 1st Franco-Japanese-Vietnamese Symposium on Singularities　2013年9月19日
On the monodromies of complex polynomials 国際会議招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

Australian-Japanese workshop on real and complex singularities　2013年9月10日
Confluent A-hypergeometric functions and rapid decay homology cycles 招待有り

Takeuchi,Kiyoshi

Weekend workshop on computational approaches to D-modules and hypergeometric systems　2013年4月20日

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共同研究・競争的資金等の研究課題 24

不確定特異点を持つD-加群と特異点理論の研究

竹内潔

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：Tohoku University

2024年4月1日～ 2028年3月31日
不確定特異点を持つD-加群と幾何学的モノドロミーの研究

竹内潔

2017年4月1日～ 2022年3月31日

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望月拓郎と Kedlayaの理論により、不確定特異点を持つホロノミー D-加群の理論は劇的な発展を遂げた。特に D'Agnoloと柏原は、不確定特異点を持つホロノミー D-加群に対するリーマンヒルベルト対応を確立した。また柏原と Schapiraは、これをホロノミー D-加群のフーリエ変換に応用した。フーリエ変換は D-加群の理論で基本的な対象だが、高次元の場合の詳しい性質はほとんど未解明である。我々は、柏原-Schapiraの理論を用いて正則ホロノミー D-加群のフーリエ変換の詳しい性質を解明した。特にその特異集合を具体的に記述し、それに沿う指数因子や不確定度が元の正則ホロノミー D-加群の特性多様体を用いて記述できることを示した。我々は、さらにある特別な形の不確定特異点を持つホロノミーD-加群にたいしても、同様の結果が成り立つことを示した。これらの結果は、約30年前の Brylinskiの結果を拡張するものであり、さらなる発展が期待される。幾何学的モノドロミーの研究については、これまで得られた結果を有理（型）関数のミルナーモノドロミーやその定める写像のモノドロミーに一般化した。そのために、Deligneにより定義された nearby cycle函手を有理型関数の場合に一般化し、基礎理論を整備した。また有理関数の定める複素平面への写像について、その分岐点集合のニュートン多面体を用いた上からの評価を得た。これは Nemethi-Zahariaの古典的な結果の拡張である。さらに有理型関数にたいするBerstein-佐藤多項式を発見し、その根と有理型関数のミルナーモノドロミーに関して柏原-Malgrangeの定理の類似を証明した。またこの新しいBerstein-佐藤多項式の理論を用いて、有理型関数の定める乗法的イデアル層の跳躍数の集合の上からの評価を得た。
L-類, コボルディズム理論と双変理論およびその周辺に関する位相幾何学的総合研究

與倉昭治, 森吉仁志, 木村俊一, 佐伯修, 竹内潔

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

研究機関：Kagoshima University

2016年4月1日～ 2019年3月31日

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Levine-Morelの代数的コボルディズム理論をSースキームの場合に拡張した.双変代数的コボルディズム理論の完成を目指していたが,Toni Annala氏(British Columbia大)が2018年11月に完成させた.今はAnnala氏と共同で束の代数的コボルディズム理論を研究している.双変Lー類を模索中,Hirzebruch chi-y種数がファイバー束についてmod 4で乗法的であることを発見した.この予想外の発見を切掛に,chi-y種数のmod 8乗法性やモチヴィック特性類のホモロジー的合同式等を得た.また,双変理論的発想から写像のホモトピー集合についても興味ある成果等を得た。
特異多様体上の留数理論とその応用

諏訪立雄, 足助太郎, 大本亨, 岡陸雄, 竹内潔, 田島慎一, 中村弥生, 與倉昭治

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：Hokkaido University

2012年4月1日～ 2017年3月31日

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研究代表者による特性類の局所化理論は複素解析幾何学において特性類に関わる諸問題を中心に広範囲の応用, 発展をみていた. 本研究では次の成果を得た. (1) ベクトル束の準同型写像の退化問題に関し, 普遍的局所化を構成した. (2) Lefschetz 一致点公式を拡張した. これには我々が導入した局所的および大域的な一致ホモロジー類が重要な役割を果たす. (3) 相対 Bott-Chern コホモロジーの理論を展開しその応用を与えた. (4) 佐藤超関数の簡明な表示法を見出した. このため相対 Dolbeault コホモロジーの理論を整備拡充した. また超関数の各種演算を具体的に表した.
多項式写像と多変数超幾何関数の大域的モノドロミーの研究

竹内潔, 松井優

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：University of Tsukuba

2013年4月1日～ 2016年3月31日

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多項式写像の無限遠点におけるモノドロミーについて研究した。特に無限遠点において従順でない写像に対し、一般ファイバーのコホモロジーに関する消滅定理を証明することで、無限遠点のまわりのモノドロミーのジョルダン標準型を多くの場合に記述した。またこの研究の副産物として、多項式写像の分岐点集合の表示を得た。さらに合流型 A-超幾何関数の無限遠点におけるモノドロミーの固有多項式の公式が得られた。モノドロミー予想については、原点で非退化な多項式に対して多くの場合に予想が成り立つことを証明した。
写像の特異点論の新展開

佐伯修, 大本亨, 與倉昭治, 岩瀬則夫, 鎌田聖一, 佐久間一浩, 石川昌治, 福井敏純, 石川剛郎, 山本稔, 高瀬将道, 足利正, 片長敦子, 小林真人, 山本卓宏, 竹内潔, 高田敏恵

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

研究機関：Kyushu University

2011年4月1日～ 2016年3月31日

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現代数学の潮流の中で，特異点論の新たな展開の方向性をさぐることが目的であった．まず6次元から3次元への多項式写像芽で非自明なものがあるかという40年来のMilnorの問題を，配置空間のトポロジーを使って肯定的に解決した．また，特殊な特異写像のはめ込み・埋め込みによる特異点消去可能条件を完全に決定した．さらに境界付き3次元多様体上の写像の特異ファイバーを分類し，境界付き曲面上のモース関数の同境群をはじめて定式化した上でそれが位数2の巡回群になることを示した．また，こうした理論をデータ可視化に応用し，ユーザインターフェースを試作した．このように特異点論の新展開の方向性を十分に示すことができた．
幾何学的および解析的モノドロミーと局所ゼータ関数の研究

竹内潔, 松井優

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：University of Tsukuba

2010年～ 2012年

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モチヴィックミルナーファイバーの理論を用いて、多項式写像の無限遠点のまわりのモノドロミーのジョルダン標準型を記述する公式を得た。さらにこの結果を完全交叉多様体からの多項式写像の場合に一般化した。また急減少ホモロジーの理論を用いて、合流型A-超幾何関数の積分表示を得た。それにより合流型A-超幾何関数の無限遠点における漸近展開およびストークス係数を計算した。
アティア類の局所化理論とその応用

諏訪立雄, 大本亨, 岡睦雄, 河澄響矢, 竹内潔, 田島慎一, 中村弥生, 與倉昭治, 吉川謙一

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：Hokkaido University

2009年～ 2011年

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(1)Atiyah類の局所化に関しては, M. Abate, F. Bracci, F. Tovenaとの共同研究において次のような基礎理論を確立した:(1)局所化に適したAtiyah類の簡明な定義,(2)Cech-Dolbeaultコホモロジー論の展開,(3)複素解析的Thom類の導入,(4)Bott型の消滅定理の証明. (2)ベクトル束の準同型写像の退化問題に関し,Thom-Porteous公式を退化集合に局所化する試みを大本亨と開始した.これはChern類のSchur多項式の普遍的局所化を構成するもので,ベクトル束のThom類の大幅な拡張である.
等質空間上のラドン変換と調和解析への応用

筧知之, 磯崎洋, 竹内潔, 木下保

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：University of Tsukuba

2007年～ 2009年

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我々は等質空間上のラドン変換とその調和解析への応用について研究し、以下の結果を得た。一般化されたマトリックスラドン変換の像がパフィアン型不変微分作用素により特徴付けられる事を証明した。更に、反転公式も得た。(2)コンパクト対称空間上のシュレディンガー方程式の基本解のサポートが、ある条件のもとでは、有理数時間において低次元集合となる事、そして、無理数時間においては、対称空間全体と一致する事を証明した。
代数解析学の幾何学への応用

竹内潔, 諏訪立雄, 田島慎一, 谷崎俊之

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：University of Tsukuba

2007年～ 2009年

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高次元の不動点集合を持つ写像にたいするLefschetz不動点公式を研究し、不動点指数を具体的に表示する公式を得た。またGelfandらが導入したA-判別式多様体の次元や次数を、配置Aの幾何学的情報を用いて記述する公式を得た。さらにこれらの研究の副産物として、多項式写像の無限遠点のまわりのモノドロミー、A-超幾何関数の解析接続、局所ゼータ関数の極のなどについても様々な結果が得られた。
代数解析の特異点理論への応用競争的資金

研究機関：University of Tsukuba.

2004年4月～ 2007年3月
多変数留数カレントの複素解析と計算代数解析

田島慎一, 吉原久夫, 小島秀雄, 竹内潔, 中村弥生

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：Niigata University

2005年～ 2007年

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複素解析学と計算機代数解析の観点から、特異点をもつ多様体上で定義されるような留数カレントやホロノミー系の研究をすすめた。 1.孤立特異点を持つ複素超曲面に付随する代数的局所コホモロジー類のなすベクトル空間の基底を求める計算アルゴリズムを導出、効率化した。その応用として、中村弥生、鍋島克輔らと共に、イデアルのスタンダード基底を求める新たなアルゴリズムを導出、実装した。 2.パラーメータを含む零次元イデアルに対し、上記の結果を拡張できることを示した。この結果は特異点研究にとって重要な結果である。 3.複素領域で定義された線形常微分方程式に対する冪級数の空間における非斉次方程式の局所可解条件は、留数概念をもちいて記述できる。微分作用素環におけるグレブナ基底の概念をもちいることで、局所可解条件を記述する確定特異点型微分方程式系を構成した。 4.一変数代数的局所コホモロジーの概念とD-加群の理論を組み合わせることで、有理関数の極における留数値やローラン展開等を極めて効率的に求めるアルゴリズムを構成した。庄司卓夢氏と共同で、これらのアルゴリズムに改良を加え、数式処理システムRisa/Asirにパッケージとして実装した。 5.孤立特異点に付随して定義されるある種のホロノミーD-加群を構成する方法を与えた。 6.Grothendieck留数を用いることで、正則ベクトル場のホモロジカル指数をアルゴリズミックに求める方法について研究した。
リー代数および量子群の代数解析的研究

谷崎俊之, 柏原正樹, 庄司俊明, 斉藤義久, 兼田正治, 中島啓, 竹内潔

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

研究機関：Osaka City University

2005年～ 2006年

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1.研究代表者は、量子群の可積分表現のゼロウェイト空間への組み紐群の作用について研究を行った。表現がある種の条件を満たす場合には、組み紐群の作用はヘッケ代数の作用を与え、これによりヘッケ代数の表現が得られる。A型の場合にはこれによりすべてのヘッケ代数の表現が得られ、Schur関手を用いる構成と同様の結果が得られる。ヘッケ代数の表現のKazhdan-Lusztig基底と量子群の表現の大域結晶基底の理論を用いることにより、環上でもこの構成は意味を持つことが分かり、これを用いてモジュラー表現についての考察も可能である。この方法でLascoux-Leclerc-Thibon予想の別証明を与えた。 2.研究代表者は、幾何学的ラングランズ対応の表現論への応用について研究した.特に,内藤聡らによるtwining指標公式の自然な解釈を得る問題について考察した. 3.分担者の柏原は、アフィン量子代数のレベルゼロの基本表現とDemazure加群について研究を行った。 4.分担者の庄司は、自身が導入した変形有木小池代数の表現について研究を行った。また対応するq-Schur代数についても考察を行い、興味深い結果を得た。 5.分担者の内藤は、extremalウェイト加群の結晶基底について考察した。特に、Dynkin図形の自己同形群の作用について考察し、この群で固定される結晶基底の元についての結果を得た。 6.分担者の斉藤はCherednik代数を用いてMacdonald多項式の研究をおこなった. 7.分担者の柏原は、B型アフィン・ヘッケ環の表現の研究を行った。 8.分担者の庄司は,一般Green関数について考察し,その因子となる定数に関する結果を得た
グラスマン多様体上の調和解析とラドン変換および逆問題解析への応用

筧知之, 平良和昭, 竹内潔, 木下保, 守屋克洋, 照井章

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：University of Tsukuba

2004年～ 2006年

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本研究では、以下の(1)、(2)、(3)について研究した。(1)アファイングラスマン多様体上の双対ラドン変換。(2)アファイングラスマン多様体上のラドン変換に対するモーメント条件とサポート定理。(3)マトリックスラドン変換の像の特徴付け。 (1)について。G(d, n)により実n次元ユークリッド空間のd次元平面全体の成すアファイングラスマン多様体とする。p>q及びdim(G(p, n))<dim(G(q, n))を仮定し、Rにより、G(p, n)上の滑らかな関数をG(q, n)上の滑らかな関数に移すラドン変換とする。このとき、ラドン変換Rの像は、異なる2種類のパフィアン型微分方程式系の解空間として特徴付けられる、ということを示した。 (2)について。p<q及びdim(G(p, n))=dim(G(q, n))を仮定する。このとき、包含関係をincidence relationとするラドン変換は、G(p, n)上の急減少関数をG(q, n)上の急減少関数に移す。この設定の下で、ラドン変換の像はある一般化されたモーメント条件によって特徴付けられることを示し、更に、サポート定理が成り立つことも示した。この結果は、ユークリッド空間上のd-planeラドン変換に関するヘルガソン教授の結果のアファイングラスマン多様体への一般化になっている。 (3)について。Mにより実n×k行列全体の成す空間とし、Xにより、Mのmatrix palne全体の成す多様体とする。このとき、包含関係をincidence relationとするラドン変換(マトリックスラドン変換)は、M上の急減少関数をX上の急減少関数に移す。ここで、dim(M)<dim(X)を仮定する。この設定の下で、マトリックスラドン変換の像は、ある種の一般化されたパフィアン型の微分作用素の核として特徴付けられることを示した。また、関連することであるが、カルタン運動群上の普遍包絡環の中心の構造について調べた。以上の研究は、アメリカ合衆国、タフツ大学のゴンザレス教授との共同研究に基づいている。
代数群の表現の代数解析的研究

谷崎俊之, 柏原正樹, 庄司俊明, 斉藤義久, 兼田正治, 竹内潔

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：Osaka City University

2003年～ 2004年

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1.研究代表者は、非可換スキームとしての量子旗多様体の研究を行い、パラメータが1のベキ根の場合の考察を行った。特に正標数の旗多様体上のD加群と表現の対応に関するBezrukavnikov・Mirkovic・Ryumininの結果の類似を予想として定式化した。これはBackelin・KremnitzerおよびMirkovicによる最近の仕事とは別の方向での研究である。証明にはいくつかの問題点が残されているが、近い将来解決できるものと思われる。また、簡約代数群の部分的旗多様体上の微分作用素環に関するSoergelの結果を拡張し、階数の高いベクトル束に作用する微分作用素環に関する結果を得た。さらに、圏0の中心に関するSoergelの結果を拡張について考え、A型の場合に放物型部分群の局所有限作用を仮定した圏0の類似に対して同様の記述が成り立つことを予想した。 2.分担者の柏原は,基本重みをextremal重みとするアフィン量子群の有限次表現の結晶基底がlevel1の最高重みをもつ既約表現のDemazure加群の結晶基底と同型となることを示した。 3.分担者の有木は,古典型ヘッケ環の表現型がポアンカレ多項式で統制されることを示した. 4.分担者の中島は,インスタントンのモジュライ空間の同変基本類の母関数であるネクラソフの分配関数の展開の第一項がサイバーグ・ウィッテンのプレポテンシャルに等しいことを証明した. 5.分担者の庄司は,有限体上の特殊線形群の既約指標に関するLusztig予想を証明した。またLusztig予想に関連するスカラーを決定した。 6.分担者の兼田は、正標数における旗多様体上のD加群と対応する代数群の表現の対応について考察した。これについては、最近の、柏原・Lauritzen、Bezrukavnikov・Mirkovic・Ryumininの結果により種々の問題があることが判明しているが、Berthelotにより定義されたレベルの高い数論的微分作用素環を用いてある種の導来同値性を定式化し、これを射影空間の場合に証明した。 7.分担者の市野は,齋藤・黒川リフトの対角への制限について考察し、ある種の次数6のL関数に対して特殊値の代数性を証明した。
頂点作用素代数のモジュラー不変のヒルベルト型、ジーゲル型への拡張を目指して

宮本雅彦, 森田純, 木村達雄, 内藤聡, 竹内潔, 北詰正顕, 佐垣大輔, 星野光男

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

研究機関：University of Tsukuba

2001年～ 2004年

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頂点作用素代数(略してVOA)の概念は、モンスター単純群(最大の散在型有限単純群)と古典的モジュラー関数との間の神秘的な関係を説明するために構成されたムーンシャイン加群(ムーンシャイン頂点作用素代数)から来ている。現在では、数理物理における2次元共形場理論(のカイラル代数)に対して厳密な公理を与えたものとも理解されているが、モジュラー不変性を仮定していないにもかかわらず、幾つかの有限性条件の下でモジュラー不変性が出て来るという神秘的な性質を持っている。我々の研究の目的は、このモジュラー不変性の起源を明らかにし、それを多変数型(例えば、ヒルベルト型やジーゲル型)のモジュラー不変性に拡張する為の基礎を構築することにある。本研究で得た研究成果は以下の通りである。 (1)最初のムーンシャイン頂点作用素代数の構成は複雑なオービフォルド理論を利用していたが、ここでは、最も基本的な共形場理論であるイジング模型を使ってムーンシャイン頂点作用素代数を構成した。これにより、直積型ではあるが、多変数型のモジュラー不変性(保形性)を示す最初の例を構成した。 (2)これまではモジュラー不変性を導く有限条件として、有理性(加群が完全可約であること)が本質的であると理解されてきた。本研究では、pseudo-trace関数というものを導入することで、有理性は本質的ではなく、技巧的だと思われていたC2有限性こそが本質的な条件であることを示した。 (3)ジーゲル型のモジュラー不変性を得るためには、ユークリッド型ジョルダン代数をグライス代数として持つ頂点作用素代数が必要であるが、これまでは、中心電荷がランクと一致するものしかなく、これでは、古典的なジーゲルモジュラー形式しか得ることができなかった。本研究では、任意の中心電荷に対して、ジョルダン代数をグライス代数として持つものを構成した。 (4)頂点作用素代数を構成した場合、その自己同型群を求めることは重要な問題であるが、本研究で構成するものはほとんど宮本involutionという位数2の元を含んでいる。それゆえ、位数2の元の中心化群から全体の自己同型を求めることが役に立つ。本研究では、これに対する位数公式を導いた。
D-加群の解の構造の幾何学的研究

竹内潔

2002年～ 2003年

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孤立特異点を持つ複素超曲面は、ミルナーらによる重要な研究以後多くの数学者により研究された。しかしそのミルナーファイバーのコホモロジーやそのモノドロミーは、重み付き斉次多項式など特別な場合をのぞいて良くわかっていないのが現状である。私はナング氏と共同で孤立特異点型の特異性を持ったD-加群を研究し、既約なD-加群すべての特性サイクルを求めることに成功した。興味深いことに、特性サイクルの係数に特異点のモノドロミーの情報が自然に現われる。この事を逆に利用して、モノドロミーの各固有空間の次元を上から押さえる不等式を得た。さらにD-加群の指数定理や偏屈層の理論を援用することにより、特異点集合が孤立していない場合にたいする一般化も行った。また東京大学院生の松井優氏とグラスマン多様体上の構成可能関数のラドン変換の基礎的研究を行い、エルンストレムの射影空間の場合の定理の一般化がグラスマンでは成り立たない事などを示した。これまでの代数解析の研究と並行して今後はこうした複素特異点論や積分幾何への応用の研究も行っていきたい。以上の研究のために今年度は計算機を買い揃え、専門書等を購入して周辺分野の知見を広めるととに努め、さらに最新の研究成果を知るために国内の研究集会に出張した。特に特異点の代数幾何や表現論などの本来他分野の研究者と研究連絡を取り合った。今後これらの研究者と活発に共同研究をしていく予定である。また堀田良之・谷崎俊之氏と代数解析とその表現論、交叉コホモロジー理論への応用に関する専門書の執筆を行った。
小行列式型微分作用素の大域的性質と対称空間上の積分幾何

筧知之, 平良和昭, 佐々木建昭, 梶谷邦彦, 内藤聴, 宮本雅彦, 若林誠一郎, 竹内潔, 土居伸一

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：University of Tsukuba

2001年～ 2002年

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1.パフィアン型作用素とアファイングラスマン多様体上のラドン変換:G(d,n)によりRnにおけるd次元平面の全体からなるアファイングラスマン多様体を表すものとする。すると、包含関係をincidence relationとするラドン変換R^p_qが、G(p,n)上のC^∞関数をG(q,n)上のC^∞関数に移す変換として定まる。s及びrを、それぞれG(p,n),及びg(q,n)の階数とする。この時、我々の得た結果は以下の通りである。(1)p<qかつs<rである場合。ラドン変換R^p_qの像は、ある2s+2階の単独のパフィアン型不変微分作用素の零解の空間として特徴付けられる。(2)p<qかつs【less than or equal】rである場合。この時、ラドン変換R^p_qの反転公式はDR^q_pR^p_q=Iなる形で与えられる。ここで、Dは生成作用素と呼ばれる作用素で、パフィアン型不変微分作用素で表され、その具体的な表示も得た。(3)p<qかつs<rである場合。ラドン変換R^p_qの像は、あるs+1階のパフィアン型不変微分方程式系の零解の空間として特徴付けられる。ただし、この場合(1)と違い、全く異なる2種類のパフィアン型作用素が像を特徴付ける微分方程式系の中に現れるのである。なお、この結果はゴンザレス氏との共同研究によって得られたものである。 2.ラドン変換に対するソボレフ型評価。基本的にラドン変換は、関数を部分多様体上で積分するというものである。故に、ラドン変換は関数をある程度滑らかにするものと予想される。実際、ストリカーツによってq-plane変換R^0_qはL^2関数をオーダーq/2のソボレフ空間H^<q/2>に移すことが示されている。この場合、滑らかさの増大度は対応するdouble fibrationのファイバーの次元に比例している。しかし、一般の変換R^p_qの場合、滑らかさの増大度が対応するdouble fibrationのファイバーの次元に比例しない、という意味でR^p_qは、それ程関数を滑らかにはしない、ということを発見した。
代数群の表現論の代数解析的研究

谷崎俊之, 庄司俊明, 柏原正樹, 斉藤義久, 川中宣明, 兼田正治, 竹内潔

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B).

研究機関：Hiroshima University

1999年～ 2000年

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1.カッツ・ムーディ・リー代数の最高ウェイト加群の研究研究代表者と分担者の柏原正樹は,アフィンリー代数の臨界レベルにおける既約最高ウェイト表現の指標を求めることを目指して,半無限旗多様体上のD加群とアフィンリー代数の表現の関係について考察した.これにより,半無限旗多様体上の同変直線束の様子が,通常の旗多様体の場合と大きく異なることに気がつき,ここから理論を組み立てる必要があることが判明した. 2.量子群の旗多様体の研究研究代表者は,量子群の旗多様体に関する研究を行ない,特にボレル部分群とは限らない放物型部分群に対応する場合にも,量子群の旗多様体が構成できることを確認した,その際巾単根基の扱いが,通常の場合より面倒である.また分担者の森田と共に非可換スキーム論の立場から,層係数コホモロジー・D加群等についてよい定式化を求める試みを行なった. 3.トロイダル.リー代数の表現の研究分担者の斉藤は,トロイダル・リー代数のボゾン表示を用いた表現の構成を行なった.またトロイダル・リー代数の自己同型群について考察し,モジュラー群との関係を見いだした. 4.量子群のローラン多項式環上での表現の研究分担者の兼田は,代数群の整数環上での表現に対応して,量子群のローラン多項式環上での表現について研究を行ない,ケンプの定理の量子群版をローラン多項式環上で証明した. 5.可解ゲームの研究分担者の川中は,佐藤のゲームの拡張を与え,表現論的立場からこれについて研究を行なった. 6.複素鏡映群とそのヘッケ環の表現の研究分担者の庄司は,A型ヘッケ環に対するフロベニウスの公式を,複素鏡映群のヘッケ環にまで拡張することを試み,有木・小池代数の場合にこれに成功した.
有限体およびP進体上のKZ方程式とその表現論への応用

谷崎俊之, 柏原正樹, 竹内潔, 斉藤義久, 三町勝久, 兼田正治, 都築暢夫

1998年～ 1999年

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1.アフィン・リー代数の最高ウェイト表現の研究研究代表者と柏原正樹(分担者)は,アフィン・リー代数の最高ウェイト表現の研究を行なった.特に臨界レベルのウェイトに関して研究を行ない,カジュダン・ルスティック型指標公式の予想を定式化した. 2.量子群の旗多様体の研究研究代表者は,引き続き量子群の旗多様体の研究を行ない,特に非可換スキーム論の観点から,層係数コホモロジー・微分作用素・D加群等の非可換版について,それらのよい定式化を求める試みを行なった. 3.ラドン・ペンローズ変換の研究研究代表者は,旗多様体上での拡張された意味でのラドン変換の研究を行ない,いわゆるBGG分解を用いて,ラドン変換の満たすスペクトル系列を得た. 4.正標数におけるD加群の研究分担者の兼田正治は,正標数における簡約代数群の旗多様体上のD加群について考察した.特にそのコホモロジー群の消滅・代数群の表現との関係に関して考察を行なった. 5.バーンズ型積分の研究分担者の三町勝久は,超幾何方程式・KZ方程式に関する研究を行なった.特にバーンズ型積分と種々の特殊多項式の関連に関するに詳しい考察を行ない,新たな結果を得た. 6.トロイダル代数の研究分担者の斉藤義久は,引き続きトロイダル代数に関する研究を行ない,アフィンリー代数との関係をさらに明らかにした.またこの観点から,ソリトン型方程式との関連について考察した. 7.高次元境界値問題の研究分担者の竹内潔は,代数解析的手法による微分方程式の研究を行なった.特に確定特異点型方程式の場合に高次元境界値問題に関する詳しい考察を行なった.
高余次元境界値問題と大域解析

竹内潔

1997年～ 1998年

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高余次元境界値問題の研究においては、偏微分方程式の解の延長問題を研究してきた。すなはち、楕円型方程式の解の定義域が自動的に延長するという、柏原ー河合の定理をより一般の方程式系へ拡張する計画である。今年度は、当研究者が予想した最も広いクラスの系にまで結果を拡張することができ、しかもdistribution解の接続についての新しい結果や、確定特異点的な方程式系についての対応する結果を証明することができた(二つの結果とも掲載予定)。また、これらの研究に使用された層のマイクロ台をカットする手法やD-加群の消滅輪体の理論を利用して、Ramified Cauchy問題やE-加群に対するCauchy-Kowalevski型定理の研究を開始した。前者の研究では、D'Agnolo-Schapiraの結果の証明の簡易化に成功し、その様々なバリエーションが得られただけでなく、D-加群の正則関数解の複体の消滅輪体の超局所的視点からの研究が今後可能になると期待され、現在鋭意研究中である。またE-加群に対するCauchy-Kowalevski型定理の研究では、石村氏の定理の証明で不明解であった箇所に正しい証明を与えることに成功した。この結果はE-加群の逆像に関するものだが、順像すなはちE-加群の積分についての結果を最終目標としている。研究実施計画の「D-加群の積分変換」に取り組むための最初の一歩になることが期待される。また佐藤超関数解についてよく知られた偏微分方程式の解の消滅定理を、Andronikof氏の理論を用いることで関数空間がdistributionの場合にも証明した。これについては、フランスのColin氏が構成した柏原-Schapiraの函手の積分変換の理論を応用して、無限回微分可能関数での解の研究を開始した。以上の研究の他、D-加群の積分変換や特性サイクルの理論の指数定浬への応用、表現論とD-加群等の分野について見識をひろめるために、他の研究者と研究連絡をおこなった。特に最近のSchmid-Vilonenらによる表現論への応用についての学習に努めた。
代数群の表現論の代数解析学的研究

谷崎俊之, 竹内潔, 吉岡康太, 都築暢夫, 菅野孝史, 隅廣秀康

1996年～ 1996年

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主として,筆者の定義したゲルファント超幾何方程式の拡張と,それに関連して生ずる表現論の問題について考察し,結果を得た. 以前の研究で,この方程式がホロノミー系になるためのひとつの十分条件は得られていたが,これについて更にリー群論的立場からの考察を行い,巾零軌道との関係を明らかにした. また,解の積分表示の存在について更に研究を進めた.どのような場合に解の積分表示がある種のラドン変換で与えられるかを定め,その場合のラドン変換の一般的性質について考察した.柏原正樹との共同研究で扱ったラドン変換は,射影直線に関するものであったが,今回は半単純リー群のある種の一般型放物部分群に関するものを対象とした.特に,ラドン変換の像がどのような方程式を満たすかという問題をD加群論の立場から研究した.ラドン変換の像が常にある種の方程式系(ヴァーマ加群と関連して具体的に書ける)をみたすことは証明できた.予想は,ラドン変換がもとの関係空間をその方程式系を満たす関数の全体に1対1にうつすということだが,全射性は有る意味で(D加群論的定式化のもとで)一般に言えた.単射性は,現在のところ一般線形群の場合のみが言えている.なお,この結果は実リー群の場合の大島利雄・関口英子の結果の複素ヴァージョンである.ある種のコホモロジー群の消滅が言えば,我々の結果から大島・関口の結果は従うのであるが,それは今後の問題である. その他,我々の超幾何方程式を定義する際の前提になっている,ヴァーマ加群の最大真部分加群についての有る事実の量子群版についても研究を行った.これは,今後我々の方程式を差分化する際に必要になるであろう基本的結果である.
高余次元境界値問題と第二超局所化競争的資金

研究機関：University of Tsukuba.
代数解析とその表現論への応用競争的資金

研究機関：University of Tsukuba.

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