研究者詳細

顔写真

シオヤ　タカシ
塩谷　隆
Takashi Shioya
所属
大学院理学研究科　数学専攻　解析学講座
職名
教授
学位

  • 理学博士（九州大学）

経歴 5

  • 2005年6月 ～ 継続中
    東北大学　大学院理学研究科　教授

  • 2000年4月 ～ 2005年5月
    東北大学　大学院理学研究科　助教授

  • 1994年4月 ～ 2000年3月
    九州大学　大学院数理学研究科　助教授

  • 1991年7月 ～ 1994年3月
    九州大学　理学部 数学科　助手

  • 1991年4月 ～ 1991年6月
    独立行政法人日本学術振興会　九州大学　特別研究員(PD)

学歴 3

  • 九州大学　大学院数理学研究科　博士後期課程

    1988年4月 ～ 1991年3月

  • 東海大学　大学院理学研究科　修士課程

    1986年4月 ～ 1988年3月

  • 東海大学　理学部　数学科

    1982年4月 ～ 1986年3月

委員歴 8

  • 東北数学雑誌　編集長

    2019年4月 ～ 継続中

  • 日本数学会学術委員会　委員，2021.7〜2023.6は委員長

    2017年7月 ～ 2024年6月

  • 日本数学会 数学メモアール編集委員会　編集委員

    2015年9月 ～ 2024年6月

  • 教育研究資金問題検討委員会　委員

    2016年7月 ～ 2018年6月

  • 日本数学会幾何学分科会　幹事

    2013年4月 ～ 2017年3月

  • 日本数学会幾何学分科会　連絡責任評議委員

    2015年4月 ～ 2016年3月

  • 日本数学会幾何学分科会　評議委員

    2014年4月 ～ 2015年3月

  • 川井数理科学財団　評議委員

    2011年2月 ～ 2013年3月

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所属学協会 1

  • 日本数学会

研究キーワード 1

  • 距離空間の収束における幾何と解析

研究分野 1

  • 自然科学一般 / 幾何学 /

受賞 2

  1. 幾何学賞

    2006年9月19日　日本数学会　アレクサンドロフ空間に関する一連の研究業績

  2. ISAAC Award for Young Mathematicians

    1999年8月17日　The International Society for Analysis, its Applications and Computation　Alexandrov 空間上の解析の研究に対して

論文 45

  1. Two-dimensional metric spaces with curvature bounded above, I 査読有り

    Koichi Nagano, Takashi Shioya, Takao Yamaguchi

    Geometry & Topology　28　(7)　3023-3093　2024年11月25日

    出版者・発行元： Mathematical Sciences Publishers

    DOI： 10.2140/gt.2024.28.3023 　

    ISSN：1465-3060

    eISSN：1364-0380

  2. Principal bundle structure of the space of metric measure spaces 査読有り

    Daisuke Kazukawa, Hiroki Nakajima, Takashi Shioya

    Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics　1-31　2024年11月18日

    出版者・発行元： Cambridge University Press (CUP)

    DOI： 10.1017/prm.2024.111 　

    ISSN：0308-2105

    eISSN：1473-7124

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    We study the topological structure of the space $\mathcal{X}$ of isomorphism classes of metric measure spaces equipped with the box or concentration topologies. We consider the scale-change action of the multiplicative group ${\mathbb{R } }_+$ of positive real numbers on $\mathcal{X}$ , which has a one-point metric measure space, say $*$ , as only one fixed-point. We prove that the ${\mathbb{R } }_+$ -action on $\mathcal{X}_* := \mathcal{X} \setminus \{*\}$ admits the structure of non-trivial and locally trivial principal ${\mathbb{R } }_+$ -bundle over the quotient space. Our bundle ${\mathbb{R } }_+ \to \mathcal{X}_* \to \mathcal{X}_*/{\mathbb{R } }_+$ is a curious example of a non-trivial principal fibre bundle with contractible fibre. A similar statement is obtained for the pyramidal compactification of $\mathcal{X}$ , where we completely determine the structure of the fixed-point set of the ${\mathbb{R } }_+$ -action on the compactification.

  3. High-dimensional ellipsoids converge to Gaussian spaces 査読有り

    Daisuke KAZUKAWA, Takashi SHIOYA

    Journal of the Mathematical Society of Japan　76　(2)　2024年4月23日

    出版者・発行元： Mathematical Society of Japan (Project Euclid)

    DOI： 10.2969/jmsj/86648664 　

    ISSN：0025-5645

  4. Topological aspects of the space of metric measure spaces 査読有り

    Daisuke Kazukawa, Hiroki Nakajima, Takashi Shioya

    Geometriae Dedicata　218　(3)　2024年4月11日

    出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC

    DOI： 10.1007/s10711-024-00921-3 　

    ISSN：0046-5755

    eISSN：1572-9168

  5. A natural compactification of the Gromov–Hausdorff space 査読有り

    Hiroki Nakajima, Takashi Shioya

    Geometriae Dedicata　218　(1)　2023年11月2日

    出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC

    DOI： 10.1007/s10711-023-00852-5 　

    ISSN：0046-5755

    eISSN：1572-9168

  6. Graph manifolds as ends of negatively curved riemannian manifolds 査読有り

    Koji Fujiwara, Takashi Shioya

    Geometry and Topology　24　(4)　2035-2074　2020年

    DOI： 10.2140/gt.2020.24.2035 　

    ISSN：1465-3060

    eISSN：1364-0380

  7. Isoperimetric rigidity and distributions of 1-Lipschitz functions 査読有り

    Hiroki Nakajima, Takashi Shioya

    Advances in Mathematics　349　1198-1233　2019年6月20日

    DOI： 10.1016/j.aim.2019.04.043 　

    ISSN：0001-8708

    eISSN：1090-2082

  8. High-dimensional metric-measure limit of Stiefel and flag manifolds 査読有り

    Takashi Shioya, Asuka Takatsu

    Mathematische Zeitschrift　1-35　2018年3月3日

    出版者・発行元： Springer Berlin Heidelberg

    DOI： 10.1007/s00209-018-2044-y 　

    ISSN：1432-1823 0025-5874

  9. Metric measure limits of spheres and complex projective spaces 招待有り 査読有り

    塩谷 隆

    Measure theory in non-smooth spaces, Partial Differ. Equ. Meas. Theory　261-287　2017年

  10. Concentration, Convergence, and Dissipation of Spaces 招待有り 査読有り

    Takashi Shioya

    GEOMETRY AND TOPOLOGY OF MANIFOLDS　154　299-314　2016年

    DOI： 10.1007/978-4-431-56021-0_16 　

    ISSN：2194-1009

  11. Limit formulas for metric measure invariants and phase transition property 査読有り

    Ryunosuke Ozawa, Takashi Shioya

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT　280　(3-4)　759-782　2015年8月

    DOI： 10.1007/s00209-015-1447-2 　

    ISSN：0025-5874

    eISSN：1432-1823

  12. Estimate of observable diameter of l (p) -product spaces 査読有り

    Ryunosuke Ozawa, Takashi Shioya

    MANUSCRIPTA MATHEMATICA　147　(3-4)　501-509　2015年7月

    DOI： 10.1007/s00229-015-0730-1 　

    ISSN：0025-2611

    eISSN：1432-1785

  13. Estimate of isodiametric constant for closed surfaces 査読有り

    Takashi Shioya

    GEOMETRIAE DEDICATA　174　(1)　279-285　2015年2月

    DOI： 10.1007/s10711-014-0017-9 　

    ISSN：0046-5755

    eISSN：1572-9168

  14. Concentration, Ricci Curvature, and Eigenvalues of Laplacian 査読有り

    Kei Funano, Takashi Shioya

    Geometric and Functional Analysis　23　(3)　888-936　2013年6月

    DOI： 10.1007/s00039-013-0215-x 　

    ISSN：1016-443X

  15. COLLAPSING THREE-MANIFOLDS WITH A LOWER CURVATURE BOUND 招待有り 査読有り

    Takashi Shioya

    TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL　63　(4)　471-487　2011年12月

    DOI： 10.2748/tmj/1325886277 　

    ISSN：0040-8735

  16. A TOPOLOGICAL SPLITTING THEOREM FOR WEIGHTED ALEXANDROV SPACES 査読有り

    Kazuhiro Kuwae, Takashi Shioya

    TOHOKU MATHEMATICAL JOURNAL　63　(1)　59-76　2011年3月

    DOI： 10.2748/tmj/1303219936 　

    ISSN：0040-8735

  17. Geometric analysis on Alexandrov spaces 招待有り 査読有り

    Takashi Shioya

    Su Buqing memorial lectures. No. 1, Tohoku Math. Publ.　35　31-46　2011年

  18. Infinitesimal Bishop-Gromov condition for Alexandrov spaces 招待有り 査読有り

    Kazuhiro Kuwae, Takashi Shioya

    PROBABILISTIC APPROACH TO GEOMETRY　57　293-+　2010年

  19. Variational convergence over metric spaces 査読有り

    Kazuhiro Kuwae, Takashi Shioya

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　360　(1)　35-75　2008年

    DOI： 10.1090/S0002-9947-07-04167-0 　

    ISSN：0002-9947

  20. Fixed point sets of parabolic isometries of CAT(0)-spaces 査読有り

    K Fujiwara, K Nagano, T Shioya

    COMMENTARII MATHEMATICI HELVETICI　81　(2)　305-335　2006年

    ISSN：0010-2571

  21. Volume collapsed three-manifolds with a lower curvature bound 査読有り

    T Shioya, T Yamaguchi

    MATHEMATISCHE ANNALEN　333　(1)　131-155　2005年9月

    DOI： 10.1007/s00208-005-0667-x 　

    ISSN：0025-5831

  22. Parabolic isometries of CAT(0) spaces and CAT(0) dimensions 招待有り 査読有り

    K. Fujiwara, T. Shioya, S. Yamagata

    Algebraic and Geometric Topology　4　861-892　2004年10月9日

  23. Behavior of distant maximal geodesics in finitely connected complete two-dimensional Riemannian manifolds II 査読有り

    Takashi Shioya

    Geometriae Dedicata　103　(1)　1-32　2004年2月

    DOI： 10.1023/B:GEOM.0000013841.35753.b3 　

    ISSN：0046-5755

  24. Sobolev and Dirichlet spaces over maps between metric spaces 査読有り

    K. Kuwae, T. Shioya

    J. Reine Angew. Math.　555　39-75　2003年6月

  25. Convergence of spectral structures: A functional analytic theory and its applications to spectral geometry 査読有り

    Kazuhiro Kuwae, Takashi Shioya

    Communications in Analysis and Geometry　11　(4)　599-673　2003年

    出版者・発行元： International Press

    DOI： 10.4310/CAG.2003.v11.n4.a1 　

    ISSN：1019-8385

  26. Sobolev spaces, Laplacian, and heat kernel on Alexandrov spaces 招待有り 査読有り

    K Kuwae, Y Machigashira, T Shioya

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT　238　(2)　269-316　2001年10月

    DOI： 10.1007/s002090100252 　

    ISSN：0025-5874

  27. Convergence of Alexandrov spaces and spectrum of Laplacian 査読有り

    T Shioya

    JOURNAL OF THE MATHEMATICAL SOCIETY OF JAPAN　53　(1)　1-15　2001年1月

    DOI： 10.2969/jmsj/05310001 　

    ISSN：0025-5645

  28. On Generalized Measure Contraction Property and Energy Functional over Lipschitz Maps 招待有り 査読有り

    Kazuhiro Kuwae, Takashi Shioya

    Potential Analysis　15　(1-2)　105-121　2001年

    DOI： 10.1023/A:1011218425271 　

    ISSN：0926-2601

  29. Collapsing three-manifolds under a lower curvature bound 査読有り

    T Shioya, T Yamaguchi

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL GEOMETRY　56　(1)　1-66　2000年9月

    ISSN：0022-040X

  30. Beginning of analysis on Alexandrov spaces 招待有り 査読有り

    Kazuhiro Kuwae, Machigashira Yoshiroh, Takashi Shioya

    Geometry and topology: Aarhus (1998), Contemp. Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI.　258　275-284　2000年1月

  31. The limit spaces of two-dimensional manifolds with uniformly bounded integral curvature 査読有り

    T Shioya

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　351　(5)　1765-1801　1999年5月

    ISSN：0002-9947

  32. Eigenvalues and suspension structure of compact Riemannian orbifolds with positive Ricci curvature 査読有り

    Takashi Shioya

    Manuscripta Mathematica　99　(4)　509-516　1999年

    出版者・発行元： Springer New York

    DOI： 10.1007/s002290050188 　

    ISSN：0025-2611

  33. Geometry of total curvature 招待有り 査読有り

    Takashi Shioya

    Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992), Sémin. Congr., Soc. Math. France, Paris.　1　561-600　1996年1月

  34. The Gromov-Hausdroff limits of two-dimensional manifolds under integral curvature bound 招待有り 査読有り

    Takashi Shioya

    Geometry and Topology (Y. W. Kim, S. E. Koh, Y. J. Song, and Y. G. Choi, eds.), Proceedings of Workshops in Pure Mathematics, Pure Mathematics Research Association, The Korean Academic Council.　16　(III)　35-55　1996年1月

  35. THE RIEMANNIAN STRUCTURE OF ALEXANDROV SPACES 査読有り

    Y OTSU, T SHIOYA

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL GEOMETRY　39　(3)　629-658　1994年5月

    ISSN：0022-040X

  36. BEHAVIOR OF DISTANT MAXIMAL GEODESICS IN FINITELY CONNECTED COMPLETE 2-DIMENSIONAL RIEMANNIAN-MANIFOLDS - INTRODUCTION 査読有り

    T SHIOYA

    MEMOIRS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　108　(517)　1-73　1994年3月

    ISSN：0065-9266

  37. MASS OF RAYS IN ALEXANDROV SPACES OF NONNEGATIVE CURVATURE 査読有り

    T SHIOYA

    COMMENTARII MATHEMATICI HELVETICI　69　(2)　208-228　1994年

    ISSN：0010-2571

  38. SPLITTING THEOREMS FOR NONNEGATIVELY CURVED OPEN MANIFOLDS WITH LARGE IDEAL BOUNDARY 査読有り

    T SHIOYA

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT　212　(2)　223-238　1993年2月

    ISSN：0025-5874

  39. On the excess of open manifolds 招待有り 査読有り

    Takashi Shioya

    Differential geometry: Riemannian geometry (Los Angeles, CA, 1990), Proc. Sympos. Pure Math., Amer. Math. Soc., Providence, RI.　54　(3)　577-584　1993年1月

  40. Diameter and area estimates for $S^2$ and $P^2$ with non-negatively curved metrics 招待有り 査読有り

    Takashi Shioya

    Progress in differential geometry, Adv. Stud. Pure Math., Math. Soc. Japan, Tokyo.　22　309-319　1993年1月

  41. The ideal boundaries of complete open surfaces 査読有り

    Takashi Shioya

    Tohoku Mathematical Journal　43　(1)　37-59　1991年

    DOI： 10.2748/tmj/1178227534 　

    ISSN：0040-8735

  42. On asymptotic behavior of the mass of rays 査読有り

    Takashi Shioya

    Proceedings of the American Mathematical Society　108　(2)　495-505　1990年

    DOI： 10.1090/S0002-9939-1990-0986652-X 　

    ISSN：1088-6826 0002-9939

  43. Mass of rays on complete open surfaces 査読有り

    K. Shiohama, T. Shioya, M. Tanaka

    Pacific Journal of Mathematics　143　(2)　349-358　1990年

    DOI： 10.2140/pjm.1990.143.349 　

    ISSN：0030-8730

  44. The ideal boundaries and global geometric properties of complete open surfaces 査読有り

    Takashi Shioya

    Nagoya Mathematical Journal　120　181-204　1990年

    DOI： 10.1017/S0027763000003330 　

    ISSN：0027-7630

  45. The ideal boundaries of complete open surfaces admitting total curvature c(M)=-∞ 招待有り 査読有り

    Takashi Shioya

    Geometry of manifolds (Matsumoto, 1988), Perspect. Math., Academic Press.　8　351-364　1989年1月

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MISC 16

  1. Two-dimensional metric spaces with curvature bounded above II

    Koichi Nagano, Takashi Shioya, Takao Yamaguchi

    2023年8月31日

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    As a continuation of \cite{NSY:local}, we mainly discuss the global structure of two-dimensional locally compact geodesically complete metric spaces with curvature bounded above. We first obtain the result on the Lipschitz homotopy approximations of such spaces by polyhedral spaces. We define the curvature measures on our spaces making use of the convergence of the curvature measures, and establish Gauss-Bonnet Theorem. We also give a characterization of such spaces.

  2. 測度距離空間の収束理論 招待有り

    塩谷 隆

    数理科学　2021年6月

  3. Convergence of group actions in metric measure geometry 査読有り

    Hiroki Nakajima, Takashi Shioya

    to appear in Communications in Analysis and Geometry　2021年4月1日

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    We generalize the box and observable distances to those between metric measure spaces with group actions, and prove some fundamental properties. As an application, we obtain an example of a sequence of lens spaces with unbounded dimension converging to the cone of the infinite-dimensional complex projective space. Our idea is to use the theory of mass-transport.

  4. 測度距離幾何学 招待有り 査読有り

    塩谷 隆

    雑誌「数学」　71　(2)　159-177　2019年

    DOI： 10.11429/sugaku.0712159 　

  5. 多様体の解析 : リッチ・フローと幾何化予想の解決 (特集 幾何学における様々な発想 : いかにして空間をとらえるか) 招待有り

    塩谷 隆

    数理科学　52　(3)　40-45　2014年3月

    出版者・発行元： サイエンス社

    ISSN： 0386-2240

  6. 太田慎一氏の業績 招待有り

    塩谷 隆

    雑誌「数学」　64　(4)　408-415　2012年

    出版者・発行元： 一般社団法人 日本数学会

    DOI： 10.11429/sugaku.0644408 　

  7. Alexandrov空間上の幾何解析 招待有り 査読有り

    塩谷 隆

    雑誌「数学」　61　(1)　1-20　2009年1月

    出版者・発行元： 岩波書店

  8. コラム：ポアンカレ予想とペレルマン 招待有り

    塩谷 隆

    数理科学 特集「ポアンカレ」　544　36-37　2008年10月

    出版者・発行元： サイエンス社

  9. 曲がった空間を見る---幾何学入門からポアンカレ予想まで--- 招待有り

    塩谷 隆

    数学のたのしみ 2007春・冬　2007　118-132　2007年6月10日

    出版者・発行元： 日本評論社

  10. ３次元多様体の崩壊 招待有り

    塩谷 隆

    数学セミナー 増刊　2007年1月

    出版者・発行元： 日本評論社

  11. 曲率積分が有界な２次元リーマン多様体の極限空間 招待有り

    塩谷 隆

    2006年

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    研究会「Hodge理論・退化・複素曲面の代数幾何とトポロジー」の報告集に掲載

  12. アレキサンドロフ空間の幾何と解析 招待有り

    塩谷 隆

    数学のたのしみ 2005冬　2005年

    出版者・発行元： 日本評論社

  13. 測度距離空間上の解析と曲率 招待有り

    塩谷 隆

    ２１世紀の数学-幾何学の未踏峰-　2004年

    出版者・発行元： 日本評論社

  14. Alexandrov空間上の解析について 招待有り

    塩谷 隆

    「リーマン多様体とその極限」数学メモワール　2004年

    出版者・発行元： 日本数学会

  15. 距離空間の収束と (非線形型) 変分収束 招待有り

    塩谷隆

    微分幾何研究集会予稿集, 筑波大学, 2002　2002年

  16. リーマン計量と測地線/内在的幾何学入門 招待有り

    塩谷 隆

    数学セミナー：曲がってるって何？　39　(10)　30-35　2000年10月

    出版者・発行元： 日本評論社

    ISSN： 0386-4960

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書籍等出版物 6

  1. 測度距離空間の幾何学への招待 : 高次元および無限次元空間へのアプローチ

    塩谷, 隆

    サイエンス社　2024年11月

    ISBN: 9784781916187

  2. 幾何学入門事典

    砂田, 利一, 加藤, 文元

    朝倉書店　2023年6月

    ISBN: 9784254111583

  3. 最適輸送理論とリッチ曲率

    桑江一洋, 塩谷隆, 太田慎一, 高津飛鳥, 桒田和正

    日本数学会　2017年2月

  4. Metric Measure Geometry

    Takashi Shioya

    European Mathematical Society　2016年

    詳細を見る 詳細を閉じる

    IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics Vol. 25.

  5. 基礎微分幾何

    塩谷 隆

    サイエンス社　2009年11月

  6. The geometry of total curvature on complete open surfaces

    K. Shiohama, T. Shioya, M. Tanaka

    Cambridge University Press　2003年10月1日

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講演・口頭発表等 76

  1. Two-dimensional metric spaces with curvature bounded above 招待有り

    Takashi Shioya

    The Hekksagon Mathematics 2024 Meeting　2024年11月25日

  2. Two-dimensional metric spaces with curvature bounded above 招待有り

    塩谷 隆

    Geometry and Topology　2024年10月18日

  3. Principal bundle structure of the space of metric measure spaces 招待有り

    Takashi Shioya

    Metrics and Measures　2023年9月28日

  4. Principal bundle structure of the space of metric measure spaces 招待有り

    Takashi Shioya

    The 8th China-Japan Geometry Conference　2023年9月13日

  5. 測度距離空間全体の空間の主束の構造 招待有り

    塩谷 隆

    測度距離空間の解析と幾何およびその展望　2022年9月8日

  6. Principal bundle structure of the space of metric measure spaces 招待有り

    Takashi Shioya

    Dirichlet Forms to Wasserstein Geometry　2022年9月1日

  7. 測度距離空間の収束理論概観 招待有り

    塩谷 隆

    測地線及び関連する諸問題　2022年1月4日

  8. A natural compactification of the Gromov-Hausdorff space 招待有り

    塩谷 隆

    福岡 大学微分幾何研究集会　2021年11月7日

  9. Ellipsoids converge to Gaussian spaces 招待有り

    Takashi Shioya

    Geometric Measure Theory and Geometric Analysis in Moscow　2020年9月15日

  10. Graph manifolds as ends of negatively curved Riemannian manifolds 招待有り

    塩谷 隆

    幾何学シンポジウム　2020年9月1日

  11. Graph manifolds as ends of negatively curved Riemannian manifolds 招待有り

    塩谷 隆

    リーマン幾何と幾何解析　2020年2月15日

  12. Graph manifolds as ends of negatively curved Riemannian mani- folds 招待有り

    Takashi Shioya

    Curvature and Topology of Spaces　2019年5月24日

  13. Isoperimetric rigidity and distributions of 1-Lipschitz functions 招待有り

    Takashi Shioya

    The fourth China-Japan geometry conference　2018年9月11日

  14. Isoperimetric rigidity and distributions of 1-Lipschitz functions 招待有り

    Takashi Shioya

    Global Differential Geometry Workshop　2018年2月27日

  15. Isoperimetric rigidity and distributions of $1$-Lipschitz functions 招待有り

    Takashi Shioya

    Metrics and Measures　2018年1月11日

  16. Soft isoperimetric rigidity 国際会議

    Hiroki Nakajima

    Metric Measure Spaces and Ricci Curvature　2017年9月4日

  17. High-dimensional spaces in metric measure geometry 国際会議

    Geometric Analysis on Smooth and Non-Smooth Spaces　2017年6月19日

  18. High-dimensional spaces in metric measure geometry 国際会議

    5th Japanese-German University Presidents' Conference and Mini-Warkshop (HeKKSaGOn)　2016年9月28日

  19. High-dimensional spaces in metric measure geometry 国際会議

    Workshop on Perspectives in Geometric Analysis (Part A)　2016年6月30日

  20. Convergence of metric measure spaces 国際会議

    Metric Geometry and Its Applications　2016年2月22日

  21. Convergence of metric measure spaces 国際会議

    Workshop on Analysis and Geometry in Metric Spaces　2015年6月1日

  22. What is going on in metric measure geometry? 国際会議

    HeKKSaGOn　2015年4月16日

  23. 閉曲面の等径定数の評価

    日本数学会年会　2015年3月21日

  24. Concentration, convergence and dissipation of spaces 国際会議

    Mini-workshop on Differential Geometry　2015年3月19日

  25. Concentration, convergence and dissipation of spaces 国際会議

    New Trends in Optimal Transport　2015年3月2日

  26. Metric measure limits of spheres and complex projective spaces 国際会議

    ERC conference on Optimal Transportation and Applications　2014年10月27日

  27. Concentration, convergence, and dissipation of spaces 国際会議

    The 10th Geometry Conference for the Frienship between China and Japan　2014年9月7日

  28. 空間の集中・収束・消散

    日本数学会年会　2014年3月15日

  29. Metric measure geometry of high-dimensional spaces 国際会議

    The 5th GCOE Internal Symposium on "Weaving Science Web beyond Particle-Matter Hierarchy"　2013年3月4日

  30. Metric measure geometry for high-dimensional spaces

    リーマン幾何と幾何解析　2013年2月22日

  31. Concentration, Ricci curvature, and eigenvalues of Laplacian 国際会議

    The eighth China-Japan Friendship Conference on differential geometry　2012年9月7日

  32. Concentration, Ricci curvature, and eigenvalues of Laplacian 国際会議

    The Fourth Geometry Meeting　2012年8月20日

  33. Concentration of metric measure spaces 国際会議

    Analysis and Geometry in Metric Measure Spaces　2012年5月7日

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    55分×5回の連続講義 5/7,8,9,10,10

  34. Concentration, Laplacian, and Ricci curvature 国際会議

    Geometry and Probability　2011年9月15日

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    熊本大学工学部２号館２１２教室 講演日：９月１５日

  35. Concentration, Ricci curvature, and eigenvalues of Laplacian

    Geometry and something　2011年9月3日

  36. 測度集中の幾何学概観

    仙台シンポジウム　2011年8月1日

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    情報科学研究科・数学教室 講演日：８月８日

  37. Measure concentration and eigenvalues of Laplacian 国際会議

    Metric Geometry and Applications　2011年7月26日

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    講演日：７月２８日

  38. A splitting theorem for weighted Alexandrov spaces 国際会議

    The 5th Geometry Conference for Friendship of Japan and China　2010年1月28日

  39. Geometry of measure concentration

    東海大学・幾何セミナー ---田中實先生還暦祝い---　2009年9月21日

  40. Geometric aspect of mesure concentration 国際会議

    RIMS Workshop: Geometric Aspect of Partial Differential Equations and Conservation Laws　2009年6月10日

  41. Geometric Analysis on Alexandrov spaces 国際会議

    Global Analysis and Differential Geometry　2009年3月20日

    詳細を見る 詳細を閉じる

    佐賀大学理工学部数理科学科

  42. A splitting theorem for weighted Alexandrov spaces

    リーマン幾何と幾何解析　2009年2月19日

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    筑波大学自然系学系棟B

  43. Collapsing three-manifolds with a lower curvature bound 国際会議

    日中友好幾何学研究集会　2008年12月22日

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    Chern Institute, Nankai University

  44. 3次元多様体の崩壊とポアンカレ予想

    グローバルCOE キックオフミーティング　2008年9月29日

  45. Geometric analysis on Alexandrov spaces 国際会議

    Séminaire Borel: New approaches to curvature　2008年8月25日

  46. Geometric analysis on Alexandrov spaces 国際会議

    Probabilistic approach to Geometry　2008年7月28日

  47. Laplacian on Alexandrov spaces 国際会議

    Stochastic calculus on manifolds, graphs, and random structures　2007年10月8日

  48. Laplacian on Alexandrov spaces

    リーマン幾何と幾何解析　2007年3月5日

  49. Laplacian on Alexandrov spaces 国際会議

    日中友好幾何学研究集会　2006年12月14日

  50. ３次元多様体の崩壊

    日本数学会秋季総合分科会　2006年9月19日

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    幾何学賞授賞講演

  51. アレキサンドロフ空間上のラプラシアン

    幾何学シンポジウム　2006年8月5日

  52. Laplacian comparison and a splitting theorem for Alexandrov spaces

    佐賀大学微分幾何研究集会　2005年12月17日

  53. Variational convergence over metric spaces 国際会議

    Heat Kernels, Stochastic Processes and Functional Inequalities　2005年11月27日

  54. Geometric variational convergence over metric spaces

    Global Analysis and Global Geometry in Sendai, 2005　2005年2月7日

  55. Geometric variational convergence over metric spaces 国際会議

    東工大微分幾何研究集会2004　2004年12月13日

  56. Collapsing three-manifolds with a lower curvature bound 国際会議

    Collapsing and Metric Geometry　2004年8月5日

  57. Collapsing with a lower curvature bound 国際会議

    Ricci Flow and Geometrization of 3-manifolds　2003年12月15日

  58. Variational convergence over Hadamard spaces 国際会議

    Russian-German Geometry Meeting 2002　2002年6月21日

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    Euler Institute

  59. Geometry and analysis on Alexandrov spaces 国際会議

    Geometric Analysis and Singular Spaces　2002年6月7日

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    Oberwolfach 数学研究所

  60. 距離空間の収束と(非線形)変分収束

    筑波大学微分幾何研究集会　2002年2月21日

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    筑波大学 大学会舘本館

  61. Collapsing of warped product spaces and one-dimensional diffusion processes

    確率論と幾何学　2001年11月21日

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    東北大学数理科学記念館

  62. Convergence of one-dimensional diffusion processes

    2001年度幾何学シンポジウム　2001年8月31日

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    茨城大学

  63. Alexandrov空間上の解析について

    Surveys in Geometry　2001年1月10日

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    京都大学理学部

  64. 崩壊過程の分解と常微分作用素の固有値問題

    測地線および関連する諸問題　2000年11月1日

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    大阪教育大学天王寺キャンパス

  65. Convergence of spectral structures: A functional analytic theory and its applications to spectral geometry 国際会議

    Geometric Stochastic Analysis　2000年2月17日

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    Mathematisches Forschungsinsitut Oberwolfach

  66. スペクトル構造の収束

    スペクトル幾何学　1999年12月17日

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    東北大学数理科学記念館

  67. Convergence of the spectral structure of Alexandrov spaces

    リーマン多様体の収束と曲率　1999年12月7日

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    岡山大学理学部

  68. スペクトル構造の収束について

    第46回幾何学シンポジウム　1999年8月3日

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    東京大学大学院数理科学研究科

  69. Sobolev spaces, Laplacian, and heat kernel on Alexandrov spaces 国際会議

    Geometry and Topology Conference 1998　1998年8月

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    University of Aarhus

  70. Convergence of 3-manifolds under a lower curvature bound 国際会議

    Russian-Germann Geometry Meeting dedicated to the 85th birthday of A. D. Alexandrov　1997年10月

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    Euler Institute

  71. Eigenvalues of Riemannian orbifolds with positive Ricci curvature

    微分幾何学九重研究集会　1997年9月14日

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    国立大学九重共同研修所

  72. 3次元多様体の崩壊定理

    第44回幾何学シンポジウム　1997年8月22日

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    信州大学理学部

  73. Convergence of 3-manifolds under a lower curvature bound

    微分幾何学志賀研究会　1997年5月7日

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    信州大学教育学部附属志賀自然教育研究施設

  74. The limit spaces of surfaces with uniformly bounded total absolute curvature 国際会議

    Daewoo Workshop in Pure Mathematics　1996年7月8日

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    Halim University

  75. Convergence without lower curvature bound 国際会議

    Conference on Differential Geometry　1996年7月6日

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    Topology and Geometry Research Center, Kyungpook National University

  76. 全曲率が一様に有界な曲面の極限空間について

    第43回幾何学シンポジウム　1995年7月30日

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    遊学館

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共同研究・競争的資金等の研究課題 47

  1. 距離空間と測度距離空間の幾何学

    塩谷 隆

    2024年4月 ～ 2029年3月

  2. 最適輸送理論とマルコフ過程による測度距離空間の解析学

    桑江 一洋, 塩谷 隆, 太田 慎一, 石渡 聡, 櫻井 陽平, 江崎 翔太

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (S)

    研究機関：Fukuoka University

    2022年4月27日 ～ 2027年3月31日

  3. 幾何学的群論における新しい指導的理論の確立

    藤原 耕二, 小沢 登高, 塩谷 隆

    2020年4月1日 ～ 2025年3月31日

  4. 測度距離空間の収束理論の展開

    塩谷 隆

    2019年4月1日 ～ 2024年3月31日

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    ２つの距離空間の間の擬距離を定義し，それがGromov-Hausdorff空間の自然なコンパクト化を与えることを証明した（中島啓貴氏と共同）．これはウルトラ極限と適合するものである．コンパクト性の証明が鍵となるが，その証明のアイディアは，Gromovによる測度距離空間の理論に現れるピラミッドの概念を距離空間へと移植することである．さらに次元が無限大へ発散する様な収束する空間列の興味深い例を幾つか考察した．この成果は論文を投稿中である． 別の研究として，測度距離空間の間のボックス距離およびオブザーバブル距離の概念を等長的かつ保測な群作用をもつ測度距離空間の間の距離へ拡張した（中島啓貴氏と共同）．先行研究として，深谷賢治氏により等長的群作用をもつ距離空間の間の距離がGromov-Hausdorff距離を拡張することで得られており，これはリーマン多様体の崩壊理論に応用された．距離空間の場合とは異なり，ボックス距離，オブザーバブル距離の定義は非自明であり，収束に関する基本性質の証明も極めて非自明である．具体的には以下を証明した．１．距離となることの証明．特に非退化性の証明ではカップリングの概念を用いることにより可能となった．２．群作用をもつ測度距離空間がボックス距離またはオブザーバブル距離で収束するとき，商空間も同様に収束する．この証明では，thick-thin decompositionの概念を用いた．３．群作用をもつ測度距離空間から測度距離空間への群作用を忘れる射影が固有写像であることを示した．４．ボックス距離に関する収束列の例として，レンズ空間の列が無限次元複素射影空間の錐へ収束するような測度距離構造を構成した．これは距離空間では得られないという意味で重要な興味深い．この成果も論文を投稿中である．

  5. マルコフ過程と最適輸送理論に基づく測度距離空間上の幾何学と解析学の研究

    桑江 一洋, 太田 慎一, 石渡 聡, 塩谷 隆, 桑田 和正

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Fukuoka University

    2017年4月1日 ～ 2022年3月31日

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    代表者桑江は測度距離空間の解析学と幾何学への応用のためマルコフ過程の確率解析を推進した。また新しいLiouville型定理や剛性定理などリーマン多様体上の幾何解析でも知られていない成果を得た。また分担者桑田とともにRCD空間上の確率解析を確立し、桑田と分担者太田もRCD空間上の幾何解析を、分担者塩谷は測度集中現象による空間収束理論とリーマン多様体の幾何解析においてそれぞれ顕著な成果を得た。また太田はリーマン多様体やフィンスラー多様体上の幾何解析でも重要な成果を導いた。石渡はベキ零被覆グラフ上の非対称酔歩の長時間漸近挙動やリーマン多様体の連結和の熱核の漸近挙動において重要な成果を得た。

  6. リーマン多様体の収束・崩壊理論の新展開

    山口 孝男, 本多 正平, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    2018年4月1日 ～ 2021年3月31日

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    (1)断面曲率が下に有界で、境界の第２基本形式が一様に有界であるような境界つきリーマン多様体の無限列のグロモフ・ハウスドルフ距離に関する収束や崩壊現象について研究し、極限空間の境界特異点の分類と特徴付けを始めとする幾何学をほぼ決定した。（Zhilang Zhang氏との共同研究).(2)曲率が上に有界で測地的に完備な２次元距離空間の位相特異点集合を始めとする局所構造を決定し、曲率が上に有界な多面体による近似定理やガウス・ボンネ定理を得た。(永野幸一氏と塩谷隆氏との共同研究).(3) 境界をもつ３次元アレクサンドロフ空間で崩壊するものの位相を決定した（三石史人氏との共同研究)。

  7. 平均曲率型フローに現れる特異点の幾何構造の解明

    成 慶明, 山田 光太郎, 納谷 信, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Fukuoka University

    2016年4月1日 ～ 2021年3月31日

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    本研究目的を達成するために、研究代表者と研究分担者はその分担領域に応じて、最大値原理を用いて平均曲率フローの特異点を分類する解析的研究手法などで 平均曲率型フローに現れる特異点の幾何構造の解明に関する研究を行った。研究代表者と宮岡教授等は令和元年年９月1日から7日まで立命館大学にて第5回日中幾何学研究集会を主催した。さらに研究代表者と研究分担者等は令和元年年11月1日から4日まで福岡大学微分幾何学研究集会を主催し、微分幾何に関する研究打ち合わせ及び情報収集を行った。 平均曲率型のフローに現れる特異点に関する幾何構造を解明するため、 研究代表者は南開大学のZhang Weiping教授と四川大学のLi Anmin教授等を招聘し、立命館大学にて研究打ち合わせ及び情報収集を実施した。 1. 研究代表者と研究協力者華南師範大学のWei Guoxin教授と共同で重み付き体積保存平均曲率フローの完備λ-超曲面を研究し、第２基本形式の長さが一定となる完備λ-曲面を完全に分類した。さらに、 完備λ-超曲面が面積の増大度を持つ必要十分条件は完備λ-超曲面がproperであることを証明した。 2. 研究協力者Wei Guoxin教授と共同で はめこみコンパクトセルフーシュリンカー及び埋め込みコンパクトλ-超曲面を構成した。 3. 研究分担者山田はローレンツ多様体 M の零平均曲率超曲面の光的点 P が 退化であるとき、超曲面上の退化点集合は P を通る M の光的測地線分を含むことを示し、その応用としてベルンシュタイン型定理の一般化を与えた 4. 研究分担者塩谷は次元が無限大へ発散するような楕円の列が与えられたとき、ある部分列がガウス空間へ集中位相に関して収束することを証明した。 5.研究分担者納谷は球面内の高種数の極小閉曲面を構成する問題について研究を行った。

  8. 幾何学的群論の深化と展開

    藤原 耕二, 山口 孝男, 小沢 登高, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (S)

    研究機関：Kyoto University

    2015年5月29日 ～ 2020年3月31日

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    幾何学的群論に新たな手法を導入し、いくつかの画期的な成果を得た。代表者はBestvina-Bronmbergとの共同研究で、Projection complex（射影複体）の理論を創出し、曲面の写像類群に応用し、その漸近次元が有限であることを示した。 分担者の小澤は、計算機を援用した手法で、Kaluba-Novakとの共同研究を行い、５次自由群の自己同型群が「性質T」を持つことを示し、長年の未解決問題に決着をつけた。

  9. 次元が無限大へ発散する空間列の幾何学的研究

    塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2014年4月1日 ～ 2019年3月31日

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    グロモフは測度の集中現象に基づいて，測度距離空間についての新しい幾何学的理論を提案した．これは次元が無限大へ発散する空間列を研究するのが主目的である．本研究ではこれをさらに深化させた．測度の集中現象は大数の法則の幾何学化であるが，本研究では中心極限定理の幾何学化を研究した．これは相転移現象の臨界状態として現れる．例えば，次元が無限大へ発散する球面の列に対して，半径を変えると，半径のオーダーが小さいときは集中現象が起きて，大きいと きは消散現象が起き，半径が臨界の次元のルートのオーダーのとき，ガウス測度をもつ無限次元 空間へ収束することが観測される．これを他の空間に対して研究した．

  10. アレクサンドロフ空間のリプシッツ構造・崩壊理論とスペクトル逆問題の新展開

    山口 孝男, 太田 慎一, 磯崎 洋, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Kyoto University

    2014年4月1日 ～ 2019年3月31日

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    1. アレクサンドロフ空間の「良い被覆」という概念を適切に定め, 任意のアレクサンドロフ空間が、良い被覆をもつことを示し、それを用いて非崩壊ケースにおいてリプシッツ・ホモトピー収束定理を得た。2. 断面曲率が下に、境界の第２基本形式が一様に有界であるリーマン多様体が内半径崩壊する場合に、多様体構造を決定した。これはGromov, Alexander-Bishopの結果の拡張を与える。また直径が一様に有界であるとき、余次元１の内半径崩壊の構造を完全に決定した。３．等周不等式にまつわる測度距離空間の幾何解析や、格子や回転面のスペクトル逆問題についても進展があった。

  11. 量子スピン系の離散幾何解析学

    小谷 元子, 熊谷 隆, 塩谷 隆, 尾畑 伸明, 楯 辰哉, 宮岡 礼子

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：Tohoku University

    2012年4月1日 ～ 2017年3月31日

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    物性物理における基本的な研究題材である電気伝導性、特に電子のもつスピンに注目し波動関数のなすバンド構造のトポロジカルな性質であるトポロジカル絶縁体とその表面流について、無秩序系を含む定式化を非可換幾何学の枠組みで構成した。量子ウォークや、カーボンナノチューブにおける物性研究を行うために、離散曲面論を構築し、離散データから連続体の幾何学を抽出する方法を考察した。これによりミクロ構造とマクロ物性の関係を解明する方向性を見出した。

  12. 幾何学と固有値理論に関する最先端的な研究

    成 慶明, 山田 光太郎, 塩谷 隆, 二木 昭人, 小磯 深幸

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Fukuoka University

    2012年4月1日 ～ 2016年3月31日

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    本研究では独創的な研究方法でCheng-Yangの漸化式を利用して, 完備リーマン多様体内の有界領域におけるラプラス作用素の固有値に関する最適な下限を得た. これにより, Chavelの固有値の下限に関する難問を解決した. さらに, ユークリッド空間への極小的等長はめ込みの障害をラプラス作用素の固有値により発見した.特異点を許すフロントの幾何学に関する研究を行い,フロントに関するGauss-Bonnet定理を研究した. 最大値原理を拡張し,平均曲率フローの完備セルフ-シュリンカーの分類研究で研究成果を上げた. Alexandrov空間上のラプラス作用素の固有値に関する研究を推進した.

  13. 幾何学的群論と距離埋め込みの最先端研究

    藤原 耕二, 小沢 登高, 塩谷 隆, 河澄 響矢, 芥川 一雄

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    2011年4月1日 ～ 2016年3月31日

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    代表者はBestvina、Brombergとの共同研究で離散群の距離空間への埋め込みについて画期的な手法を開発し、それを使って写像類群などへの顕著な応用を多数得た。分担者の小澤は離散アメナブル群のC*環について顕著な成果を得た。また、非可換群をターゲットとする擬準同型について新しい知見を得た。分担者の塩谷はAlexandrov空間の幾何を研究し、ラプラシアンの第一固有値の挙動について顕著な成果を得た。

  14. 確率論的手法による測度距離空間上の解析学と幾何学の研究

    桑江 一洋, 塩谷 隆, 太田 慎一, 桑田 和正, 石渡 聡, 厚地 淳, 河備 浩司

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Kumamoto University

    2010年4月1日 ～ 2014年3月31日

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    p-一様凸空間上のJensenの不等式を得た。さらにp-一様凸空間上の凸汎関数の停留点がminimizerと同等になることを示し,それがレゾルヴェント流の定常状態として構成できることを一般的に示し, さらにCAT(0)-空間値Lp写像空間上のCheeger型エネルギー汎関数のときに境界条件付で示した。これらは-一様凸空間上のLp-Wasserstein空間上の凸汎関数にも適用できる成果である。またマルコフ連鎖のコースリッチ曲率を一般化したn-step コースリッチ曲率の正の条件下でのマルコフ連鎖のスペクトルの研究をおこない、写像の値域がCAT(0)空間のときに非線形スペクトルの跳びを示した。

  15. 幾何解析的手法による収束・崩壊現象の解明

    山口 孝男, 塩谷 隆, 磯崎 洋, 永野 幸一

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：University of Tsukuba

    2009年4月1日 ～ 2014年3月31日

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    断面曲率と直径が一様に有界な閉リーマン多様体のなすモジュライにおいて熱核の局所データに関するスペクトル逆問題の一意性と安定性を得た（代表者）。閉じた３次元アレクサンドロフ空間の崩壊現象を完全に分類し、更にアレクサンドロフ空間の局所リプシッツ強可縮性とリプシッツ強可縮距離球の安定性を証明した（代表者）。リッチ曲率の曲率次元条件が測度距離空間の集中において保たれることを証明し，正リッチ曲率をもつ閉リーマン多様体の第k固有値と第1固有値の比のkのみによる一様評価を得た（塩谷隆）。双曲的なオービフォールドに関して一般のエンドに対応するＳ行列から多様体を再構成する理論を完成した（磯崎洋）。

  16. 測度集中の幾何と曲率

    塩谷 隆, 藤原 耕二

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2011年 ～ 2013年

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    Gromovによる測度距離空間の幾何学的理論を解明し，本を執筆した．オブザーバブル距離に関して，測度距離空間の列が測度距離空間へ収束するとき，この曲率次元条件が保たれることを証明した．これを応用して，リッチ曲率が非負の閉リーマン多様体に対して，第k固有値と第１固有値の比がkのみによる定数で評価できることを示した．Gromovはオブザーバブル距離を備えた測度距離空間全体の空間の自然なコンパクト化を定義した．これについて詳しく考察し，自然な距離構造を導入した．これを応用して，ユークリッド空間の半径がnの平方根のn次元球面の極限が，無限次元ガウス空間へ収束することを証明した．

  17. 測度の集中現象の幾何学的応用

    船野 敬, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Research Activity Start-up

    研究機関：Kyoto University

    2011年 ～ 2012年

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    測度の集中現象の観点から非負リッチ曲率を持つ閉リーマン多様体上のラプラシアンの固有値の性質を東北大学の塩谷隆氏と共同で研究した. 成果として, 非負リッチ曲率を持つ閉リーマン多様体のラプラシアンの第k固有値は第1固有値とkだけによる普遍定数の積で上から押えられることがわかった. その際にリッチ曲率の下限にあたる概念である曲率次元条件の集中位相に関する安定性の結果を得た. これは測度付きグロモフ・ハウスドルフ位相に関する曲率次元条件の安定性の拡張に当たる結果である

  18. ランダム性を通して見る離散空間の幾何学

    小谷 元子, 塩谷 隆, 新井 仁之, 熊谷 隆, 井関 裕靖, 納谷 信, 楯 辰哉, 石渡 聡

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：Tohoku University

    2008年 ～ 2011年

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    幾何学と確率論の異なる分野の関わりを通じて、これまで扱えなかった特異性のある空間や離散的な空間の幾何学の新たな研究方法を開拓することを目的とし、ランダムウォークの量子版である量子ウォークや、非対称ランダムウォークの長時間挙動の幾何学的理解、ランダム群の固定点性質、Alexandrov空間のBishop-Gromov型の不等式、ランダムグラフの収束性などに関する結果を得て、発表した。

  19. アレクサンドロフ空間上の最適輸送問題とリッチ曲率

    塩谷 隆, 桑江 一洋

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2008年 ～ 2010年

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    アレクサンドロフ空間上に正値ラドン測度が与えられたとき、それがあるビショプ・グロモフの比較条件をみたし、空間が直線を含むとき、その空間は直線とある空間の直積に同相となることを証明した。これはチーガー・グロモールの分割定理の一般化となっている。 もう一つの成果として、非負リッチ曲率をもつ閉リーマン多様体の列が与えられて、その直径が一様に上に有界とするとき、あるkに対してラプラシアンの第k固有値が無限大へ発散するならば、第1固有値も無限大へ発散し測度の集中現象が起こることを証明した。

  20. 幾何学的群論の総合的研究

    藤原 耕二, 森田 茂之, 塩谷 隆, 森田 茂之, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Tohoku University

    2007年 ～ 2010年

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    双曲群の理論は80年代にGromovによって創始された。本研究では、双曲性をより広い範囲に適用した。Capraceとの共同研究で、Kac-Moody群に擬準同型を構成した。これにより、有限表示、単純、かつcommutator widthが無限である群をはじめて構成した。Bestvinaとの共同研究で、非正曲率を持つ体積有限なリーマン多様体の中で、ランク1の多様体を、擬準同型を使って特徴付けた。

  21. 測度距離空間上の調和写像のディリクレ形式による解析

    桑江 一洋, 塩谷 隆, 大津 幸男, 町頭 義朗, 桑田 和正, 石渡 聡, 塩谷 隆, 大津 幸男, 町頭 義朗, 桑田 和正, 石渡 聡

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Kumamoto University

    2007年 ～ 2009年

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    ディリクレ形式とマルコフ過程による解析の立場で、幾何学的な特異空間上の解析学や幾何学可能性を展開した、特に調和写像や(劣)調和関数の性質の導出を中心に研究を行なった。成果のいくつかは前回の基盤研究(C)16540201の研究成果を進展させるものである。副産物としてマルコフ過程論の研究領域においてもいくつかの研究成果を得ることに成功した。

  22. 多様体の収束・崩壊理論とリッチ流および特異空間の幾何学・解析学

    山口 孝男, 深谷 賢治, 加須栄 篤, 塩谷 隆, 戸田 正人, 伊藤 光弘, 大津 幸男, 川村 一宏, 永野 幸一, 佐藤 弘康

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：University of Tsukuba

    2005年 ～ 2008年

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    曲率が上に有界な2次元特異空間の局所構造を完全に決定し、ガウスボンネ型定理を得た(永野幸一、塩谷隆、B.Kleiner3氏との共同研究)。 断面曲率が下に直径が上に一様に有界な多様体或は特異空間に対して、本質的被覆なる新しい不変量を発見し、それが一様に有界であることを証明した。これによりグロモフ氏のベッチ数有界性定理の新しい見地からの別証明を得た。 ペレルマン氏のリッチ流に関する仕事を解明し、3次元多様体のリッチ流の特異時間における退化現象を解明した。 軌道体に対するゲルファンド・スペクトル逆問題を考察し、その局所スペクトラルデータから軌道体の等長同型構造が完全に決定されることを証明した(Y. Kurylev, M.Lassas 氏との共同研究)

  23. グロモフ-ハウスドルフ収束と変分収束理論

    塩谷 隆, 桑江 一洋, 藤原 耕二

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2005年 ～ 2007年

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    近年,測度距離空間の幾何解析の研究が非常に盛んである.研究代表者は測度距離空間の曲率と収束,特にアレクサンドロフ空間,測度距離空間のリッチ曲率,測度距離空間の列の収束などに絡む幾何解析に焦点を当てて研究してきた.一方で,ディリクレ形式の収束を関数解析的に調べる変分収束理論がMoscoによって研究されたが,これを応用・拡張することは,測度距離空間の列の収束を調べる上で,統一的な視点を与えることとなる.この様な動機により,研究代表者の塩谷と分担者の桑江は,幾何学的な視点から変分収束理論を拡張したが,本研究費の研究において一応の完成を見た.我々はこれを「幾何学的変分収束理論」と呼んでいる.この理論で現れる収束概念は,現在,「Mosco-桑江-塩谷収束」と呼ばれ,確率論の有限次元近似やhomogenizationの研究などにおいて広く応用されつつある. まだ研究途上ではあるが,もう一つの成果として,アレクサンドロフ空間上で「リッチ曲率が非負」に相当する条件の下で,ラプラシアンの比較定理および分割定理を証明した.リーマン多様体に対しては、リッチ曲率がある定数以上になることは,ビショップ・グロモフの不等式の無限小バージョンと同値である.アレクサンドロフ空間上ではリッチ曲率テンソルは定義されないので,リッチ曲率条件の替わりにこのビショップ・グロモフの不等式を仮定した.リーマン多様体の場合と決定的に異なるのは,カットローカスの状況である.リーマン多様体ではカットローカスは閉集合であるのに対して,アレクサンドロフ空間では一般に閉集合にならず稠密になるような例もある.このことから,ラプラシアンの比較定理の証明ではリーマン多様体と同じ方法は通用せず,新しい方法を開発した.

  24. 離散群の作用する無限グラフのスペクトル解析とグロモフ・ハウスドルフ収束

    小谷 元子, 塩谷 隆, 井関 裕靖, 尾畑 伸明, 砂田 利一, 納谷 信, 藤家 雪朗

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Tohoku University

    2004年 ～ 2007年

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    結晶格子上のランダム・ウォークの長時間挙動及び磁場付き推移作用素のスペクトルの性質と結晶格子の幾何学的性質の関係を研究し,総説をまとめAmer. Math. Soc. Sugaku Expositoryに公表した.結晶格子をもっとも対称性が高く自然な形に表す標準的実現がキーとなる記述であるが,中心極限定理のスケーリング,大偏差のスケーリングでは異なる幾何学的対象が捕らえられる.結晶格子とは,自由アーベル群が自由に作用し,商空間が有限グラフとなる無限グラフである.この周期性から,結晶格子を無限遠から観察すると一様な図形に見える.より正確に述べる.結晶格子をグラフ距離によって距離空間と考え,距離をスケール変換した距離空間の1パラメーター族を得る.このスケールをゼロに近付けたときのグロモフ・ハウスドルフ位相による極限距離空間を,結晶格子の無限遠での接錐という.結晶格子のようなアーベル周期性をもつ距離空間の無限遠での接錐の存在は,グロモフによって知られているが,この極限距離空間を具体的に,また,グラフの幾何の言葉で特徴つけた.更に,この極限空間の単位距離球が,ランダム・ウォークの大偏差源氏に現れるレート関数の本質的定義域と一致することを示し,Math.Z.に発表した.3次元ユークリッド空間に標準的実現された結晶格子のなかで最も等方性の高いグラフの分類が行われ,ダイヤモンドと対となるK4格子が特徴付けられた,これを炭素格子として実現した場合の安定性,更にどのような物性を持つ可能性があるかについて研究を行なった.

  25. 拡散過程とファジィ集合値確率変数の極限定理の研究

    小倉 幸雄, 松本 裕行, 塩谷 隆, 富崎 松代, 三苫 至, 半田 賢司

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Saga University

    2005年 ～ 2006年

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    1.連続な道をもつ一次元マルコフ過程のある自然なクラスに入る確率過程が,研究代表者が1989年に導入した双一般化一次元拡散過程となるための必要十分条件を与えた.クラスを決めることが重要な課題だが,レゾルベントが連続になる点が稠密であることを仮定して,それらの点における初度到達時刻方程式を足がかりに,尺度関数と速度測度を求めた.尺度関数はもはや連続とは限らないことに注目し,その不連続点への初度到達時刻について強マルコフ性が成り立たないことを明らかにした. 2.ファジィ集合の空間を,[0,1]上から閉集合の族の空間への関数と考えることにより,レベル集合がコンパクトであるようなファジィ集合値確率変数についての大偏差原理を証明した.具体的には,$p$次の平均収束の位相,L'{e}vyの距離による位相,グラフ距離による位相および可算直積空間の相対位相についてCramer型の大偏差原理が成り立つことを証明した. 3.無限alternating条件をみたす容量からランダム集合を構成するChoquetの定理に対応する定理をランダムファジィ集合の場合に拡張した.その際,直積Fell-Matheron位相の相対位相であるグラフ位相を用いた. 4.ハウスドルフ局所凸で第二可算公理をみたす位相空間上のFell-Matheron位相と同値な距離を具体的に求めた.1.Molchanovが"Random sets"で,Fell-Matheron位相と同値である述べているHausdorff-Buseman距離が,実は同値ではないという反例を作り,この距離改良したmodified Hausdorff-Buseman距離を定義して,これがFell-Matheron位相と同値であることを証明した.さらに,Rockafeller-Wetsの積分形の距離を改良したmodified Rockafeller-Wets距離と,無限和で与えられる距離も同値であることも証明した. 5.独立ではあるが必ずしも同分布でないファジィ集合値確率変数列についての一様ハウスドルフ距離に関する大数の強法則を証明した.

  26. 幾何学的群論と双曲幾何

    藤原 耕二, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2005年 ～ 2006年

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    数年前からの研究の最終結果として、Panos Papasogluとの共同研究として有限表示群の「JSJ分解」について決定的な結果を得て、その論文が出版された。JSJ分解の名前の由来は、コンパクトで素な3次元多様体Mを埋め込まれたトーラスと円筒で分解(=切断)することを考えるとき、それがある意味で一意的になされることを発見したJaco-Shalen-Johannsonによる仕事である。ファン・カンペンの定理によれば、Mのそのような分解は、Mの基本群Gのトーラスと円筒に対応する部分群(Z, Z+Z)に関する「グラフ分解」を導く。3次元多様体論のほかの成果を合わせると、GのZ, Z+Zに同型な部分群についての任意のグラフ分解は、このグラフ分解から得られることも分かる。その意味で、このグラフ分解はユニバーサルである。3次元多様体論において、JSJ分解は基本的な存在である。一例として、コンパクト3次元多様体に関するサーストンの「幾何化予想」は、JSJ分解の存在を基にしている。 今から10年くらい前、Rips-Selaは、一般の有限表示群Gと、Zに同型な部分群について、上で述べたような意味でユニバーサルなグラフ分解が一意的に存在することを示し、GのJSJ分解と呼んだ。今回の共同研究では、Zに同型な部分群に限られていたRips-SelaによるJSJ分解を、「スレンダー」な部分群にまで拡張した。ただし、スレンダーな群とは、その任意の部分群が有限生成な群のことである。たとえば、有限生成なアーベル群やベキ零群はすべてスレンダーであるが、ランクが2以上の自由群はスレンダーではなし。ここでは主結果を次のように述べておく。 定理「任意の有限表示群について、そのスレンダーな部分群に関するJSJ分解が一意的に存在する」。

  27. 幾何学的特異空間における調和写像のディリクレ形式による解析

    桑江 一洋, 小倉 幸雄, 塩谷 隆, 大津 幸男, 町頭 義朗, 桑田 和正, 市田 良輔

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Kumamoto University

    2004年 ～ 2006年

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    採択期間中は以下の研究成果が得られた。 1.東北大学大学院理学研究科・教授・塩谷隆氏と共同で測度付き距離空間上の変分収束の研究を行なった。これはTrans.AMSに掲載予定である。 2.Chen教授・Fitzsimmons教授 Zhang教授と共同で振動された卓群の確率論的表示に関する研究およびそれに付随する確率解析の研究をおこなった。これらはPTRFならびにAnn.Probに掲載予定である。 3.横浜市立大学大学院生だった高橋正幸氏と共同で加藤クラス測度に関する研究をおこなった。JFAに掲載予定である。 4.横浜市立大学大学院院生だった佐藤淳氏と共同で非常に良い正則性の仮定の下でマルコフ過程の(r,p)-容量O集合を除外集合とする加法的汎関数と測度の対応を確立した。 5.凸空間に値をとる写像に対してボン大学応用数学教室・教授・カール・セオドア・スツルム氏と共同でLiouville型定理の研究を行った。不変シグマ加法族が自明になる保存的なMarkov連鎖が与えられた空間において凸空間に値をとる写像に対し、自然な推移作用素が凸空間の重心の概念を経由して定義できる。この作用素で不変な写像を調和写像としたときに有界な調和写像が定値写像に限ることを示した。この研究成果は数理解析研究所講究録「別冊」において論文として発表する予定である。 6.東北大学大学院理学研究科・教授・塩谷隆氏と共同でアレキサレドロフ空間においてリッチ曲率が下に有界の概念をビショップ・グロモフ不等式の形式で導入して、そのもとでラプラシアンの比較定理を得ることができた。特にリッチ曲率が非負のときに分裂定理が等長同形ではなく同相の形で成立することを示した。平成17年度実績報告において同様な結果が成立することを報告済みだが、その証明に不備があることが後に判明したため、平成18年度は主として証明の不備を改良することに費やされた。分裂定理が等長円形まで拡張可能かどうかはいまだ未解決である。

  28. 対称マルコフ過程の大偏差原理とディリクレ形式

    竹田 雅好, 服部 哲弥, 塩谷 隆, 中野 史彦, 堤 誉志雄

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2003年 ～ 2005年

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    ファインマン-カッツ汎関数の可積分性(gaugeability)の問題は,シュレディンガー作用素に対する劣臨界性,すなわち,正値グリーン関数の存在や正値解の存在と関連する問題で,ポテンシャルが無い場合にはマルコフ過程の再帰性,非再帰性の判定と同値な問題である.加藤クラスの測度をポテンシャルにもつファインマン-カッツ汎関数が可積分であるための必要十分条件を前年度までに得た.それはポテンシャルから定義されるランダムな時間変更過程の第一固有値が1より大きいことで与えられる.その事実は,時間変更過程の第一固有値が測度や対応する加法的汎関数の大きさを測る基準としての役割を果たすことを示している.本年度はそのアイデアを更に推し進めて,ブラウン運動や対称安定過程の生成作用素にポテンシャルを加えたシュレディンガー作用素を考えたとき,半群の超縮小性が保存されるようなポテンシャルの特徴付けを行った.また,リーマン多様体上の熱核がLi-Yau評価を持つとき,シュレディンガー作用素の熱核もLi-Yau評価を持つための必要十分条件を与えた. 更に,分枝ブラウン運動や分枝対称安定過程において,容量正の閉集合に到達する粒子数の期待値が有限となるための必要十分条件も同様の条件で与えられることを示し,特異な分枝レートを持つ多くの具体的な例でその判定条件を検証した.

  29. 拡散過程とファジィ集合値確率過程の研究

    小倉 幸雄, 松本 裕行, 塩谷 隆, 富崎 松代, 三苫 至, 半田 賢司

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Saga University

    2003年 ～ 2004年

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    確率変数の取る値の空間を一般化する研究は,理論の上からも,応用数学の立場からも重要なテーマであろう.それをファジィ集合の空間に取り,極限定理を調べるのが本研究の目的である.この空間では,位相の入れ方によって可分性が壊れることがあるので注意を要する.本研究の一つの成果は,大数の法則,中心極限定理それにマルチンゲール収束定理は,可分性が壊れる一様位相を入れた空間でも成り立つことを突きとめたことである.方法としては,単調性を用いる方法と,分割を細かくするときのパラメータに関するエントロピーの可積分性を出して,経験分布の理論に持ち込む手法を取った. 大偏差原理については,可分性がより大きな影響を与えるが,Levyの距離による位相についてまでは,自然な条件の下でCramer型の大偏差原理が成り立つことを得た.Skorohod位相と一様位相の場合は,やゝ強い条件の下で成り立つことを得た.また,この条件をみたす具体例を求めたが,これはM.Arcones : Large deviations of empirical processesの一つの定理の反例になっている.また自然な条件の下で,Sanov型の大偏差原理が成り立つことも得た.速度関数を具体的に求める問題は,簡単な場合しか出来ていないが,一つの例では,2つの測度の相対エントロピーになることが分かった. 次に,研究分担者の松本裕行とともに,一次元ブラウン運動B(t)とその時刻tまでの最大値M(t)について,cM-Xがマルコフ過程になるのは,c=0,1,2の場合のみであることを得た.これは,15年度からの継続の研究であるが,Levyの定理(c=1の場合)とPittmanの定理(c=2の場合)を補完するものである.

  30. リーマン多様体の収束とラプラシアンのスペクトル

    塩谷 隆, 桑江 一洋, 藤原 耕二, 塩濱 勝博

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2002年 ～ 2004年

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    M_i→MとY_i→Y(i=1,2,3,...)をそれぞれプロパー距離空間のグロモフ-ハウスドルフ収束列とする.ここで,プロパーとは任意の有界集合が相対コンパクトの意味である.M_i上の与えられたラドン測度がM上のあるラドン測度に弱収束すると仮定する.ここで,我々は写像列u_i:M_i→Y_iおよびそのエネルギー汎関数の収束性や漸近挙動に興味を持った.我々は写像列u_i:M_i→Y_iのu:M→YへのL^P-収束(p【greater than or equal】1)の定義を与え,写像空間{u:M_i→Y_i}上定義されたエネルギー汎関数E_iの収束理論を確立した.ここに,そのエネルギー汎関数の収束理論はモスコの変分収束理論を拡張する事により得られた.モスコは,レーリッヒのコンパクト性の拡張として,汎関数列{E_i}の漸近的コンパクト性の概念を定義した.漸近的コンパクト性はエネルギー最小写像(調和写像)の収束性の証明などに役立つ.我々は,ポアンカレ定数の一様有界性およびMの距離構造のある仮定の下で,漸近的コンパクト性を証明した.E_iが漸近的コンパクトかつΓ-収束するとき,それはコンパクト収束すると呼ぶ.E_iがEへコンパクト収束することとE_iのサブレベル集合がEのサブレベル集合ヘグロモフ-ハウスドルフ収束することが必要十分である事を証明した.これはコンパクト収束の幾何学的な解釈を与える.さらに,Y_iが全てOAT(0)-空間で,E_iが下半連続かつ凸であるとき,E_iがコンパクト収束することと随伴するレゾルベントの収束が同値であることを証明した.ここに,凸関数に随伴するレゾルベントはモロ-吉田近似を用いて定義される.応用として,近似エネルギー汎関数とそのスペクトルの性質を調べた.また,M_iが全てリッチ曲率が下に有界なリーマン多様体であるとき,エネルギー汎関数のコンパクト性を得た.

  31. 無限離散群の幾何学的研究

    藤原 耕二, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2002年 ～ 2004年

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    本研究は、「幾何学的群論」と呼ばれる分野における諸問題に取り組むことを目的とした、総合的な研究である。 幾何学的群論は、Gromovの先駆的な仕事をきっかけに、最近15年くらい、アメリカ、ヨーロッパで活発な研究が行われている。古典的な組み合わせ群論、双曲幾何学、3次元多様体論、写像類群の理論など様々な分野のテクニック、結果が交錯するダイナミックな分野でもある。 しかしながら、日本においては幾何学的群論の研究は活発とは言えない。この3年間の研究で、日本における幾何学的群論の研究活動のスタートになることも目的とし、一定の成果が出たと考える。 本研究で取り組んだ課題の一つに離散群のCAT(0)空間への等長作用がある。 CAT(0)空間とは、Gromovが測地距離空間に定義した概念で、リーマン多様体で言えば、完備、単連結で、断面曲率が0以下のもの(アダマール多様体と呼ばれる)を測地距離空間に拡張したものである。 離散群Gが与えられたとき、それが等長的、かつ離散的に作用するCAT(0)空間Xを見つけることは、離散群Gの代数的構造を研究する上で、大きな手がかりになる。古典的には、リー群の離散部分群に対して、それに対応する対称空間への等長作用などが、例である。 さらに、次元を最小にするようなCAT(0)空間Xは、Gについて、特別の意味を持つと考えられる。 これにまつわる研究として、Brady-Crispによる先駆的な研究があったが、本研究では、彼らによって提出された問題に肯定的な解決をあたえ、論文"Parabolic isometries of CAT(0) spaces and CAT(0) dimensions", Fujiwara, Koji ; Shioya, Takashi ; Yamagata, Saeko. Algebr.Geom.Topol.4(2004),861--892.として発表した.

  32. リーマン多様体の崩壊理論とアレクサンドロフ空間の幾何学

    山口 孝男, 伊藤 光弘, 川村 一宏, 石渡 聡, 大津 幸男, 塩谷 隆, 守屋 克洋, 菅野 貴弘, 佐藤 栄一, 山田 光太郎, 高山 茂晴

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    2001年 ～ 2004年

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    平成13年度から16年度までの本研究により解明された主な事柄は以下の通りである。 1)断面曲率が一様に下に有界で直径が一様に上に有界な4次元リーマン多様体の崩壊の解明に関する論文執筆を終了した。また、3次元、4次元の完備非負曲率の非コンパクトな特異空間の幾何学を確立した(代表者)。 2)断面曲率が一様に下に有界で体積が小さい3次元リーマン多様体がグラフ多様体であることを証明した(代表者と塩谷隆)。 3)絶対全曲率が一様に上に有界であるような曲面のグロモフ・ハウスドルフ収束を決定し,極限の真珠空間の特異性評価,ホモトピー型の決定、真珠の個数評価などの精密な幾何学を展開した(代表者と堀敦彦氏). 4)曲率が上に有界な2次元の特異曲面の特異点のまわりの局所的な幾何構造を決定し、何枚かのリプシッツ円盤の張り合わせになることを示した(代表者、塩谷隆と永野幸一氏,現在論文準備中)。 5)距離空間がリッチ曲率が下に有界であることの概念を定義し,そのような空間から一般の距離空間への写像のエネルギーを導入した.ポアンカレの不等式が成り立つことを証明し,それを用いてレーリッヒ型のコンパクト性定理を証明した(塩谷隆と桑江一洋氏の共同研究). 6)リーマン多様体やアレクサンドロフ空間をネットと呼ばれるグラフにより離散近似して、ネットのラプラシアンの空間のラプラシアンへの収束性を証明した(大津幸男).また、ネットでの近似を用いて多様体上の熱作用素の漸近挙動の研究を行い、ベキ零被覆多様体上の熱作用素に関する中心極限定理型の定理を得た(石渡聡)

  33. 結晶格子の標準的実現と磁場付き推移作用素のスペクトル解析

    小谷 元子, 藤原 耕二, 塩谷 隆, 砂田 利一, 大仁田 義裕, 井関 裕靖, 納谷 信

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2002年 ～ 2003年

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    周期性をもつグラフ(有限グラフのアーベル被覆グラフ)を結晶格子という。結晶格子に周期的な磁場がかかっている場合の電子の振る舞いを表す有界自己共役作用素を磁場付き推移作用素という。まず、結晶格子の「磁場付き推移作用素」を定義し、それが妥当な定義であることの証拠として、中心極限定理を得た。即ち、磁場付き推移作用素が時間無限大でユークリッド空間の磁場付きラプラシアンに収束することを示した。更に、このときのユークリッド計量および、極限に現れるベクトル・ポテンシャルの幾何学的意味を明らかにした。次に群のコホモロジーを用いて結晶格子における「磁場」を定義し、磁場付き推移作用素のスペクトルの磁場に関する依存の滑らかさを調べた。磁場付き推移作用素を磁場によって定まるC*環の元と見ることが本質的である。C*環の連続場および、非可換トーラスの微分構造を用いて、磁場に滑らかに依存する自己供役な作用素のスペクトル端は磁場に対してリプシッツ連続性を持つことを示した。 また、磁場のないばあい、すなわち結晶格子のランダム・ウォークに関して大偏差原理が成立することを示し、その幾何学的意味をあきらかにした。結晶格子のスケールをゼロに収束させると、有限次元ベクトル空間にバナッハ距離を入れた距離空間にグロモフ・ハウスドルフ収束するが、この極限距離空間と大偏差に現れるレート関数に関係があることを観察し、バナッハ距離が結晶格子の幾何で具体的に求まることを示した。

  34. グロモフ・ハウスドルフ極限空間上のディリクレ空間と調和写像の解析

    桑江 一洋, 大津 幸男, 塩谷 隆, 小倉 幸雄, 町頭 義朗, 市田 良輔

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Yokohama City University

    2001年 ～ 2003年

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    以下の研究をおこなった。 (1)測度付き距離空間上の変分収束の研究:この研究は分担者である東北大学理学研究科教授塩谷敬と共同でおこなった。距離空間の和集合の上に漸近関係というグロモフ・ハウスドルフ位相を例として含む位相を導入してその上の汎関数の変分収束についていくかの結果を得ることに成功した。特に測度付き局所コンパクト完備可分距離空間上から点付きproper距離空間に値をとるp乗可積分写像全体の集まりが測度近似から誘導される距離近似のもとで漸近関係となることを示した。また漸近関係を与える距離空間の全体において、個々の距離空間上で定義される汎関数の全体における収束の概念としてガンマ収束を与え、同時に汎関数が漸近的にコンパクトという概念も与え、ガンマ収束かつ漸近的コンパクトであることをコンパクト収束とした。これは個々の空間が共通の場合に於けるよく知られた概念の拡長である。このとき汎関数のコンパクト収束がその各汎関数のsublevel集合がある意味でグロモフ・ハウスドルフ収束することと同値であることを示した。また上述のp乗可積分写像全体上の汎関数がエネルギー測度から決まり、sourseの極限空間の局所被覆orderがたかだか1/r^Λpでp-ポアンカレ不等式をみたせば汎関数が漸近的コンパクトであることを示した。距離空間がCAT(0)空間いわゆる単連結曲率非正の空間のときにその和空間上の漸近関係による収束を強収束として弱収束の概念を定めた。これは各CAT(0)空間が共通のヒルベルト空間のときにおける弱収束の概念を拡長したものであり、その場合におけるいくつかの性質が同様に成立することを示した。またCAT(0)空間上の汎関数の族に対してMosco-収束の概念を定め、汎関数から決まるレゾルヴェントの強収束が従うことを示した。これらは準備中の論文「Variational convergence over metric spaces」にまとめられている。 (2)半群の確率論的表示に関する研究:これはカリフォルニア大学サンディエゴ校教授P.J.Fitzsimmons氏、ワシントン大学教授Z.Q.Chen氏とマンチェスター大学講師T.S.Thang氏との共同研究である。この研究は飛躍を含まないときにFitzsimmons氏と以前に行なった研究の拡長である。その証明においてはDirichlet形式に附随する確率解析における伊藤の公式が基本的であった。そこでは2次変分0の過程に関する確率積分が自然に出現するが、飛躍を含むときにこの確率積分が従来の範中では適用範囲に制限があり無理だと思われていた。そこで中尾慎太郎氏が導入していた発散型CAFを関数解析的でなく道にそった直接的な定義を与えることにしてそれをもちいて2次変分0の過程に関する確率積分を拡長することに成功した。その結果、摂動による半群の確率論的表示を極めて一般的に得ることができた。これは準備中の論文「Perturbation for symmetric Markov processes」にまとめられている。 (3)カラビ型の強最大値原理に関する研究:カラビ型の強最大値原理がリッチ曲率が一様に下から有界で直径が一様に有界なコンパクトリーマン多様体のグロモフ・ハウスドルフ距離による極限空間上で成立することを示した。これは金沢大学理学部教授加須栄篤氏の研究成果に根ざしている。これは準備中の論文「On Calabi s strong maximum principle via local seim-Dirichlet forms」にまとめられている。

  35. 空間の諸構造と曲率の関連

    酒井 隆, 勝田 篤, 田村 英男, 清原 一吉, 塩谷 隆, 加須栄 篤, 森本 雅治, 吉野 雄二

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：OKAYAMA UNIVERSITY

    2000年 ～ 2003年

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    代表者の酒井は,リーマン多様体における種々の計量不変量の間に成り立つ関係,また計量不変量と空間構造の関連をテーマとして研究を続けてきた.本科学研究費の援助のもとで,特にリーマン多様体における距離関数の挙動を中心として研究を行った. 1.平成9年度〜平成10年度科研費の補助(基盤研究(C)(2):曲率と空間構造:課題番号09640109)の下で,その勾配ベクトル場のノルムが一定の関数を許容するリーマン多様体の構造に関する研究を始めた.これは距離関数の持つ著しい性質で,モデル空間のねじれ積の特徴づけとその摂動版に関する結果を得たが,本科研費の下でこの研究の最終整理の段階を行った. 2.距離関数のモース理論をさらに発展させること:リーマン多様体Mの1点pからの距離関数dpは微分可能でない点を持つが,モース理論に対応してこの場合も危点の概念を幾何学的に定義することができる.他方,通常の可微分関数のモース理論では危点の指数の概念が重要な役割を果すが,距離関数の場合は危点の指数の概念は明確ではなかった.そこで,点pの切断跡(cutlocus)C(p)が扱いやすい非退化性の構造を持つ場合に,切断跡がWhitneyの層化構造を持つことを示し,危点の指数の概念を導入して距離関数のモース理論を展開することを試みた(伊藤仁一との共同研究).ただし,これに関してV.Gerschkovich-H.Rubinsteinによる仕事があることがその後判明し,我々の結果と重なる部分もあってさらに検討する必要がある. また,アレキサンドロフ空間の距離関数に関する計量不変量の挙動と構造定理を,博士課程学生のテーマとして与え,検討をおこなって球面に関連する場合に結果を得た. 他に,酒井は総合報告"Curvature-Until the twentieth century, and the future?"および「リッチ曲率が下から押さえられた多様体族とその極限」出版準備のための検討をおこなった. 3.分担者達の行った研究で上記課題に特に関連するものとして,清原は,楕円面の一点の切断跡の構造を決定した.勝田は,境界付きリーマン多様体のラプラシアンのスペクトル逆問題の安定性を研究し,加須栄はリーマン多様体,より一般にリーマン多面体やサブリーマン多様体を含む正則ディリクレ空間のスペクトル収束の研究を行った.塩谷は,リーマン多様体の収束・崩壊とラプラシアンのスペクトルの研究,アレキサンドロフ空間上の幾何と解析を研究した.田村は解析の観点から,シュレディンガー作用素およびディラック作用素に関する研究を行った.

  36. 球面定理と球面の諸性質に関する研究

    塩濱 勝博, 塩谷 隆, 榎本 一之, 陶山 芳彦, 大津 幸男, 町頭 義朗, 後藤 ミドリ, 猿子 幸弘, 石川 晋, 成 慶明

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Saga University

    2000年 ～ 2002年

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    8月に北京市で開催された国際数学者会議に塩濱、後藤、成、榎本が出席し、成と榎本は微分幾何学分科会で一般講演を行った。北京大学数学研究所で開かれた微分幾何学国際研究集会で成と塩濱は招待講演を行った。陶山は福岡大学で小林昭七(カリフォルニア大学バークレー分校名誉教授)を囲んで研究集会を開いた。成は北京大学数学研究所のChangping Wang教授を佐賀大学に招き、研究交流を行った。町頭が主催した『測地線及び関連する諸問題』に我々は参加した。 今年度に挙げた主な研究成果について記す。研究協力者の近藤慶(佐大大学院博士課程)はリーマン多様体の放射曲率と位相の研究を進展させ、radiusと体積を用いた2つの球面同相定理を証明した。更に非コンパクト完備多様体の端点の個数に関する評価を放射曲率の積分と次元を用いて与えた。これらの成果はShen, Marenich-Mendonca達の結果の自然な拡張である。猿子幸宏は漸近的平坦な完備非コンパクト多様体のスケーリング極限として漸近錐が得られる事を証明した。塩濱と田中実(東海大学理学部教授)は完備非コンパクト多様体の放射曲率がモデル曲面の曲率によって下に有界のとき、一点コンパクト化が可能なモデルの条件を求めた。更にコンパクト化した内部距離空間に対する剛性定理が成立する条件を求め、Greene-Wuの意味でのGap定理を証明した。成はユークリッド空間及び球面内のスカラー曲率一定な完備部分多様体を第2基本形式の2乗ノルムで分類した。町頭は大凡非負曲率の完備非コンパクト多様体のハウスドルフ収束について研究し、スケーリング極限と理想境界の関係を調べた。我々はこれ以外にも多くの研究成果を挙げた。

  37. リーマン多様体のなす空間の幾何学

    大津 幸男, 後藤 竜司, 塩谷 隆, 山田 光太郎, 山口 孝男, 大山 陽介, 大和 健二, 和田 健志, 柳川 浩二

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    1999年 ～ 2002年

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    曲率が下から,次元が上から押さえられたアレクサンドロフ空間全体の空間にハウスドルフ距離を与えた距離空間(以下モジュライ空間)をAとし,この上の上半連続関数の関数空間をIと表す.Iは不変量のなす空間と云える.距離空間の個数一定の点の順序付きの集合をネットと呼ぶ,これは空間を離散化したものと思うことができる.ネット全体はその空間の直積と見なせるので,各空間とそのネットの組み全体を考えると,A上のファイバー空間のようにみなせる.その各ネットに対してそれらの二点間の距離から定まる行列でユークリッド空間への写像を作ることでネットの距離構造を表現し,これを精密に行うことによりアレクサンドロフ空間のネットの空間を無限次元バナッハ空間に等長的に埋め込むことができる.この写像から距離構造の局所的なデータを取り出す別な(ユークリッド空間への)写像を導入した.このようものは一意的に決まるわけではないが,リーマン多様体のラプラシアンとの類似により離散ラプラシアンを定義し,ネットの個数が無限に発散するときの離散ラプラシアンのファイバー上の平均を取ることでその統計的な挙動を調べる手法を導入した.これにより(適当な意味で)離散ラプラシアン(の固有値・固有ベクトル)がネットの取り方によらないある極限に確率収束することを示し,さらにこの極限は桑江・町頭・塩谷によるアレクサンドロフ空間のラプラシアンとある意味で一致することを示した. 次に我々は離散ラプラシアンが有限次元の行列として表されることに注目し,異なる空間(とネット)の間でそれを比較することで,Aの新しい構造を定義することを試みた.比較する方法として,有限なパラメータを持つ分布の間の相対エントロピーがリーマン計量(フィシャー計量)を定めるという情報幾何の結果に着目した.まず,離散ラプラシアンを変形することでネットの定常マルコフ連鎖が得られることを示し,別の空間のネットのマルコフ連鎖の間の相対エントロピーを考察した.これは幾つかのパラメータとネットの選び方によって定まるので,平均と極限をとることで相対エントロピーの連続極限を構成した.

  38. アレキサンドロフ空間上の解析学

    塩谷 隆, 桑江 一洋, 大津 幸男, 伊藤 仁一

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    1999年 ～ 2001年

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    本研究の成果として,アレキサンドロフ空間上の解析の基礎を構築し,さらにそれを発展させた.以下にその概要を述べる.コンパクトアレキサンドロフ空間Mの(1,2)-ソボレフ空間W^<1,2>(M)がL^2空間へコンパクトに埋め込めることを証明した。この命題の系としてラプラシアンのスペクトルが離散的であることが得られた。ここにアレキサンドロフ空間上のラプラシアンはエネルギー形式の生成作用素として関数解析的に定義される。アレキサンドロフ空間上のDC-関数に対してDC-座標近傍から定義されるラプラシアンム:Δ^<DC>(DC-ラプラシアンと呼ぶ)と先に述べたラプラシアンΔとの関係を調べた。さらにラプラシアンの固有関数や熱方程式の局所解の連続性の証明、熱核の存在性を証明した.固定された次元nを持ち曲率【greater than or equal】-1のコンパクトなアレキサンドロフ空間全体の集合A(n)を考える.このA(n)上で,加須栄-久村が導入したスペクトル位相とGromov-Hausdorff位相が同じであることを証明した.この系として次を得た.任意のM∈A(n)と自然数κに対してラプラシアンのk番目の固有値をλ_k(M)とおくと,関数λ_k:A(n)→RはGromov-Hausdorff位相に関して連続関数である.アレキサンドロフ空間を含むリッチ曲率が下に有界な測度距離空間の概念を定義し,そこから完備距離空間へのL^p写像の自然なエネルギーを導入した.さらにこのエネルギーに関して,ポアンカレの不等式,エネルギー測度の存在などを証明した.

  39. 4次元多様体の崩壊理論とアレクサンドロフ空間の幾何学

    山口 孝男, 大津 幸男, 塩濱 勝博, 佐藤 栄一, 塩谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B).

    研究機関：KYUSHU UNIVERSITY

    1998年 ～ 2000年

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    平成10年度から12年度までの本研究により,断面曲率が一様に下に有界で,直径が一様に上に有界な4次元閉リーマン多様体が崩壊するときの多様体の位相を,極限空間のアレクサンドロフ空間上の特異ファイバー構造により決定した.その証明の過程で,3次元,4次元の完備非負曲率をもつアレクサンドロフ空間の分類に成功した.具体的な成果は次の通り. ・極限空間が3次元のとき、崩壊多様体上に局所S^1-作用を構成した. ・極限空間が2次元で境界をもたないとき、崩壊多様体は極限空間上の球面束か、ザイフェルト・トーラス-束にあることを示した. ・極限空間が2次元で境界をもつ場合、崩壊多様体の極限空間の境界に沿った分解が得られた. ・極限空間が一次元閉区間であるとき、崩壊多様体は2個以上4個以下の円盤束たちの境界に沿った張り合わせとなることを示した. ・4次元非コンパクト非負曲率アレクサンドロフ空間に対するソウル定理を証明した. ・境界が非連結な完備非負曲率アレクサンドロフ空間に対する分解定理の証明に成功した. ・頂点数が最大のコンパクト非負曲率アレクサンドロフ空間の距離的分類が得られた.

  40. 特異リッチ曲率をもつ空間の研究

    山口 孝男, 塩谷 隆, 塩濱 勝博

    1997年 ～ 1997年

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    ・6月のOverwolfachで、Colding氏(New-York)が,リッチ曲率【greater than or equal】-1なるn次元Riemann多様体の列M_iが距離空間XにGromov-Hausdorff距離に関して収束するとき、M_iのラプラシアンがXのラプラシアンに収束すると発表した。これは、dimX=nの場合と思われる。この研究集会でのColding氏との議論は本研究に大変有益であった。 ・断面曲率【greater than or equal】-1の場合には、今年度分担者塩谷との共同研究により、3次元における崩壊が明らかになった。従って、今後これをリッチ曲率【greater than or equal】-1の場合に拡張してラプラシアンのコンパクト化 ・Alexandrov空間上のラプラシアンに関して国内で進展があった。塩谷が,佐賀大の桑江・町頭両氏との共同研究により、Alexandrov空間上のラプラシアンと熱核を構成した。これにより、特異リッチ曲率をもつ空間上のソボレフ型埋め込み定理を得る事がより現実的な課題となった。 ・分担者塩浜との特異空間の幾何学に関する有益な議論、国内の研究集会への出席や許洪偉氏(中国)の九大への招聘などによる大域解析学に関する有益な議論,等を通して本研究の確かな方向づけや深い知見が得られた。 ・幾何学・大域幾何学を中心とした書物の購入により,その基礎概念から最新の理論まで,てっとり早く仕入れることが出来き、また、大画面のコンピュータ・デスプレイの購入により、論文書きがよりスピーデイに行え本研究遂行に役立った。

  41. 曲率が上に有界なアレキサンドロフ空間の位相構造

    塩谷 隆, 西 晴子, 鎌田 正良, 山口 孝男, 塩濱 勝博

    1996年 ～ 1996年

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    本研究では曲率の積分が一様に有界な曲面の極限空間の位相構造についての結果を得た。その様な空間は(位相的に)多様体にはならず、局所2連結でさえないが、それでも位相的構造を完全に解明した。正確には以下のように述べられる。球面を数珠繋ぎに(有限または無限個)繋げた空間をa string of pearlsと呼ぶ。位相空間Xが、その任意の点のある近傍がstring of pearlsを有限個接着したものに同相となるとき、Xをpearl spaceと呼ぶことにする。このとき、与えられた位相空間Xに対して、次の2つは同値になることを証明した。 1.Xにある距離構造が存在して、Xは全曲率が一様にな閉曲面の極限となる。 2.Xはpearl spaceである。 これを証明するためにToponogovタイプの比較定理を曲率の積分が小さい場合に成り立つことを証明し、それを使って全曲率が一様に有界な曲面の極限空間上の幾何学を確立した。上の結果はこれら全ての研究の最終的帰結として得られたものである。

  42. アレクサンドロフ空間の幾何学

    塩濱 勝博, 加藤 十吉, 田中 俊一, 塩谷 隆, 佐藤 坦, 山口 孝男

    1995年 ～ 1995年

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    山口孝男はアレクサンドロフ空間を一般化した局所的リプシッツ可縮内部距離空間X上のリプシッツ鎖の体積に関する理論を構成し、その応用として曲率を上から制限したアレクサンドロフ空間上の強意m-単体のハウスドルフ測定の上からの評価を得た。この結果はGromovによるRic≧n-1なる条件下での単体体積に関する評価を発展させたものである。塩谷隆は全絶対曲率の上限をもつ2次元コンパクトリーマン多様体族は、ハウスドルフ距離に関してprecompactである事を示し、その閉包に属する内部距離空間Xのハウスドルフ次元に関する上からの精密な評価を得た。かようなXはアレクサンドロフ空間の性質を持たず、π_2(X)が無限生成となる例も含み、極めて興味深い独創的な結果である。塩浜勝博は許洪偉と共同で第2基本形式及び曲率ノルムと位相との関係を研究した。Nash embeddingによって次元の高いユークリッド空間に等長的にうめ込まれた多様体族を第2基本形式から定まる量によって定め、球面定理を証明した。曲率ノルムに関しても同様の結果を得た。これらの条件をみたす多様体族はアレクサンドロフ空間の範疇に属するが、曲率の上下からの制限が完全に撤廃された。かくして全く新しいリーマン多様体族に関する球面定理がうち立てられた。塩浜は更に極小カレントに関数するFederen-Flemingの定理とLawgon-Simonsの結果を用いて、ホモロジー消滅定理を第2基本形式から定まるスカラー評価から示し、極小部分多様体論がリーマン幾何学にも適用出来る初めての例となる成果を挙げた。これら全ての結果はアレクサンドロフ空間の幾何学の発展の方向を示す有力な手がかりを与える貴重なものと言えよう。

  43. アレクサンドロフ空間の収束理論

    山口 孝男, 塩谷 隆, 田中 俊一, 塩濱 勝博, 趙 康治, 佐藤 坦, 坂内 悦子, 加藤 十吉

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for General Scientific Research (C)

    研究機関：KYUSHU UNIVERSITY

    1994年 ～ 1995年

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    曲率が下に有界なアレクサンドロフ空間の特異性がそれ程大きくない場合に、L^2空間への埋め込みを考察することにより、空間の収束の下で、空間のリプシッツ同相写像を構成することができた。これにより特に、アレクサンドロフ空間の体積の連続性が従う。更に、アレクサンドロフ空間の特異点集合がハウスドルフ測度に関して測度ゼロをもつことや、特異点集合の補集合上に自然なリーマン構造が導入され得ることも判明した。また、アレクサンドロフ空間の等長変換群がリー群になることが分かり、リーマン幾何学への重要な応用も見出された。他方、グロモフ不変料の概念をアレクサンドロフ空間に拡張し、その曲率や体積とグロモフ不変料との関連を明らかにした。先ず、アレクサンダー・スパニアーのコホモロジー理論を援用することによって、アレクサンドロフ空間Xの基本類の存在を示し、Xのグロモフ不変量を定義した。次に、基本類[X]のmassとXの体積が一致することを証明した。証明は、幾何学的測度論を用いて、[X]を代表するチェインを性質の良いリプシッツ・チェインによってmass-近似シ、ストークスの定理に代わるある種のキャンセルレーションの手法を開発することにより為される。更に、負曲率アレクサンドロフ空間のグロモフ不変量が曲率の上限と体積を用いて下から評価されることを証明した。アレクサンドロフ曲面の場合、その特異点集合の型を用いてグロモフ不変量のより精密な評価を得た。また、曲率が下に有界であえるアレクサンドロフ空間に対しては、そのグロモフ不変量を曲率の下限と体積を用いて上から評価することができた。従ってこの場合、曲率が上に有界の場合とは全く異なり、空間の特異点の出現は、グロモフ不変量にそれほど影響を及ぼさないことが判明した。これにより曲率を上から押さえるか,或は下から押さえるかで、そのグロモフ不変量への影響が全く異なることが明らかとなった。

  44. 確率群作用の絶対連続性と調和解析

    佐藤 坦, 塩谷 隆, 塩浜 勝博, 梶原 壌二, 小西 貞則, 柳川 尭

    1994年 ～ 1994年

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    X,Yを群Gに値をとる独立確率変数列で,Xは同分布列,またX・Yを項別積列とする。今XとX・YがG値列全体の空間に導く確率測度をそれぞれPとQとするときPとQの絶対連続性(P〜Qと書く)をYの分布で特徴づけることが問題であった。この問題の最も簡単で基本的な場合がGが実数加群の場合であり,これについては(代表者佐藤の貢献を含め)多くの結果が知られている。今年度はまずGがこの実数加群の場合について知られていることを整理することから始めた。これらをまとめて「無限次元確率解析」日米シンポシウム(米国・バトンル-ジュ市)で発表し,好評を博した。 次にGが正の実数のなす乗法群の場合に,Xの1次元分布がルベ-グ測度と互いに絶対連続であること,その密度関数がある種の積分正測性をみたすこと,を仮定することによって,Yの平均が2乗総和可能列であることがP〜Qとなるための十分条件であることを示した。しかしこの場合は対数写像を考えるとGが実数加群の場合と本質的には同じであると考えられる。 またXが実確率変数列でYが正値確率変数列の場合にもP〜Qとなるための十分条件が得られた。しかしこのような簡単な場合でも必要条件はかなり難しいことが分かった。 他方,ユークリッド空間上の局所可積分関数の最大関数について,(p,p)強有界性が次元に無関係に得られることがStein & Stroembergによって証明されている。これは無限次元ガウス測度の密度定理を考える上で大いに参考になりそうな結果がある。ところがその証明は大変難解である。そこでまず今年度はこの結果に完全証明をつけることから始めた。その成果は博士前期課程大塚正治君の修士論文としてまとめた。 さらに分担者達もそれぞれの立場から成果を得た。

  45. トポロジーとその関連分野の研究

    加藤 十吉, 川崎 英文, 塩谷 隆, 山田 美枝子, 坂内 悦子, 横田 佳之

    1994年 ～ 1994年

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    横田佳之:トンネル数1の結び目の2つの連結和のトンネル数が3となることがあることを発見し,さらに,トンネル数の評価法を研究した。(佐久間誠,森元勤治との共同研究) 坂内悦子:スピンモデル,アソシェーションスキームの相対性及びモジュラー不変性の相互関係を研究し,ある種のアソシェーションスキームからスピンモデルを構成するアルゴリズムを見い出し,それを有限群から得られるアソシェーションスキームに適用して,そのモジュラー不変性を完全に決定し,さらに,非対称スピンモデルの構成に成功した。(坂内英一,F.Jaegerとの共同研究) 山田美枝子:ジョーンズ型対称スピンモデルの4つのうち2つが,ある4-weight スピンモデルから構成できること,また,4-weight スピンモデルがある条件をみたせば、その2倍のループ変数をもつ,しかも,その条件をみたす4-weight スピンモデルが構成できることを示し,実際,アダマ-ル行列からこの構成法により,その無限系列を構成した。 塩谷隆:下に曲率が有界な距離空間(アレキサンドロフ空間Xの特異集合S_Xの余ハウスドルフ次元が1以上であることを示し,X-S_Xにリーマン構造が入ることを示した。 川崎英文:動節点をもつスプライン関数によるチェビシェヲ近似問題を最適化問題として捉えると,1次の最適性条件をみたせば,2次の最適性条件をみたすという特殊な構造があることを発見した。

  46. 完備リーマン多様体の幾何的性質と理想境界との関係について

    塩谷 隆

    1993年 ～ 1993年

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    完備でR^2に同相なリーマン多様体をリーマン平面と呼ぶ。リーマン平面の全曲率はCohn-Vossenの定理により2pi以下であることが知られている。以前の研究において、リーマン平面内の極大測地線の振舞いについて全曲率が2piより小さい場合に調べた。ここで極大測地線とはR上で定義された一点でない測地線である。今年度の研究では全曲率が丁度2piのとき、および境界を持つ2次元リーマン多様体の測地線の振舞いについて結果を得た。この研究において理想境界の概念は非常に重要である。具体的には次を証明した。全曲率が2piのリーマン平面をMとするとき、任意の数nに対して、Mのあるコンパクト集合K_nが存在し、K_nの外側にある任意のMのproperな極大測地線に回転数がn以上の部分弧が存在する。ここで測地線がproperとはRからMへの写像としてproperということであり、回転数とはwhitneyが定義した位相的な回転数である。さらに、Mの全ての閉測地線がある一つのコンパクト集合に含まれるような全曲率をもつリーマン平面の極大測地線の振舞いについて調べた。このようなMはexpanding,contractingと呼ばれる2つのクラスに分類される。Mがcontractingのとき、Mのある十分大きなコンパクト集合の外側には極大測地線は存在しない。一方Mがexpandingのとき、そのような極大測地線は必ず存在し、その位相的な形は決定される。

  47. 完備リーマン多様体の幾何的性質と理想境界との関係について

    塩谷 隆

    1992年 ～ 1992年

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担当経験のある科目(授業) 13

  1. 線形代数

  2. 微分積分

  3. 確率論（マルコフ過程）

  4. 数理統計学

  5. 微分方程式論

  6. （1変数複素）関数論

  7. 幾何学入門（含，基本群と被覆空間）

  8. ホモロジー論

  9. 多様体論

  10. 幾何学的変分収束理論

  11. 測度距離空間の幾何学

  12. アレキサンドロフ空間の幾何学

  13. リーマン幾何学

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社会貢献活動 7

  1. 仙台数学セミナー

    2017年8月20日 ～ 2017年8月22日

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    高校生向けの講義・セミナーの企画・実施

  2. 数理の翼

    2012年8月7日 ～ 2012年8月8日

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    「数理の翼」で「現代幾何学の考え方」という題目で高校生向けの講演を行った。また、夜ゼミにも参加した。

  3. 出前講義

    2011年12月5日 ～

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    宮城第一高等学校にて、 「現代幾何学の考え方」という題目で 出前講義を行なった。

  4. 出前講義

    2009年12月10日 ～

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    仙台第二高等学校にて、 「現代幾何学の考え方---幾何学入門からポアンカレ予想まで---」という題目で 出前講義を行なった。

  5. 数学文化講演会

    2006年10月14日 ～

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    「曲がった空間を見る---幾何学入門からポアンカレ予想まで」 という題目で講演した。

  6. ひらめき、ときめき、サイエンス

    2005年11月19日 ～

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    「曲がった空間を見る---ポアンカレ予想へのアプローチ---」 という題目で講義を行なった。

  7. 出前講義

    2004年12月21日 ～

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    仙台第一高等学校にて、 「幾何学の考え方」という題目で 出前講義を行なった。

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