研究者詳細

顔写真

タテ　タツヤ
楯　辰哉
Tatsuya Tate
所属
大学院理学研究科　数学専攻　幾何学講座
職名
教授
学位

  • 博士（理学）（東北大学）

  • 修士（理学）（東北大学）

所属学協会 1

  • 日本数学会

研究キーワード 3

  • 量子ウォーク

  • 幾何学的漸近解析

  • 幾何解析

研究分野 1

  • 自然科学一般 / 幾何学 / 幾何解析学

論文 17

  1. Eigenvalues of Quantum Walks of Grover and Fourier Types 査読有り

    Takashi Komatsu, Tatsuya Tate

    JOURNAL OF FOURIER ANALYSIS AND APPLICATIONS　25　(4)　1293-1318　2019年8月

    DOI： 10.1007/s00041-018-9630-6 　

    ISSN：1069-5869

    eISSN：1531-5851

  2. Eigenvalues of the Laplacian on the Goldberg-Coxeter constructions for 3-and 4-valent graphs 査読有り

    Toshiaki Omori, Hisashi Naito, Tatsuya Tate

    ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORICS　26　(3)　2019年7月

    ISSN：1077-8926

  3. Eigenvalues, absolute continuity and localizations for periodic unitary transition operators 査読有り

    Tatsuya Tate

    INFINITE DIMENSIONAL ANALYSIS QUANTUM PROBABILITY AND RELATED TOPICS　22　(2)　2019年6月

    DOI： 10.1142/S0219025719500115 　

    ISSN：0219-0257

    eISSN：1793-6306

  4. Up and down Grover walks on simplicial complexes 査読有り

    Xin Luo, Tatsuya Tate

    LINEAR ALGEBRA AND ITS APPLICATIONS　545　174-206　2018年5月

    DOI： 10.1016/j.laa.2018.01.036 　

    ISSN：0024-3795

    eISSN：1873-1856

  5. Quantum walks in low dimension

    Tatsuya Tate

    Trends in Mathematics　261-278　2016年

    DOI： 10.1007/978-3-319-31756-4_21 　

    ISSN：2297-0215

    eISSN：2297-024X

  6. The Hamiltonians Generating One-Dimensional Discrete-Time Quantum Walks 査読有り

    TATE Tatsuya

    Interdisciplinary Information Sciences　19　(2)　149-156　2013年9月19日

    出版者・発行元： Graduate School of Information Sciences, Tohoku University

    DOI： 10.4036/iis.2013.149 　

    ISSN：1347-6157

  7. An algebraic structure for one-dimensional quantum walks and a new proof of the weak limit theorem 査読有り

    Tatsuya Tate

    Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics　16　(2)　2013年6月

    DOI： 10.1142/S0219025713500185 　

    ISSN：0219-0257

  8. Asymptotic behavior of quantum walks on the line 査読有り

    Toshikazu Sunada, Tatsuya Tate

    Journal of Functional Analysis　262　(6)　2608-2645　2012年3月15日

    DOI： 10.1016/j.jfa.2011.12.016 　

    ISSN：0022-1236

    eISSN：1096-0783

  9. Asymptotic Euler-Maclaurin formula over lattice polytopes 査読有り

    Tatsuya Tate

    JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS　260　(2)　501-540　2011年1月

    DOI： 10.1016/j.jfa.2010.08.011 　

    ISSN：0022-1236

    eISSN：1096-0783

  10. A spectral analogue of the Meinardus theorem on asymptotics of the number of partitions 査読有り

    Tatsuya Tate

    ASYMPTOTIC ANALYSIS　67　(1-2)　101-123　2010年

    DOI： 10.3233/ASY-2009-0973 　

    ISSN：0921-7134

  11. Bernstein measures on convex polytopes 査読有り

    Tatsuya Tate

    SPECTRAL ANALYSIS IN GEOMETRY AND NUMBER THEORY　484　295-319　2009年

    ISSN：0271-4132

  12. Spectral Analysis in Geometry and Number Theory - Contemporary Mathematics 査読有り

    M. Kotani, H. Naito, T. Tate

    484　1-342　2009年

  13. Asymptotics of matrix integrals and tensor invariants of compact Lie groups 査読有り

    Michael Stolz, Tatsuya Tate

    PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　136　(6)　2235-2244　2008年

    DOI： 10.1090/S0002-9939-08-09039-4 　

    ISSN：0002-9939

  14. Lattice path combinatorics and asymptotics of multiplicities of weights in tensor powers 査読有り

    Tatsuya Tate, Steve Zelditch

    Journal of Functional Analysis　217　(2)　402-447　2004年12月15日

    DOI： 10.1016/j.jfa.2004.01.004 　

    ISSN：0022-1236

  15. Weyl pseudo-differential operator and Wigner transform on the Poincaré disk 査読有り

    Tatsuya Tate

    Annals of Global Analysis and Geometry　22　(1)　29-48　2002年

    DOI： 10.1023/A:1016253829938 　

    ISSN：0232-704X

  16. Some remarks on the off-diagonal asymptotics in quantum ergodicity 査読有り

    Tatsuya Tate

    Asymptotic Analysis　19　(3-4)　289-296　1999年4月

    ISSN：0921-7134

  17. Quantum ergodicity at a finite energy level 査読有り

    Tatsuya Tate

    Journal of the Mathematical Society of Japan　51　(4)　867-885　1999年

    DOI： 10.2969/jmsj/05140867 　

    ISSN：0025-5645

    eISSN：1881-1167

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MISC 1

  1. A spectral analogue of the Meinardus theorem on asymptotics of the number of partitions (vol 67, pg 101, 2010)

    Tatsuya Tate

    ASYMPTOTIC ANALYSIS　68　(3)　187-188　2010年

    DOI： 10.3233/ASY-2010-0990 　

    ISSN： 0921-7134

共同研究・競争的資金等の研究課題 23

  1. 離散曲面の共形構造と収束理論

    小谷 元子, 楯 辰哉, 内藤 久資, 熊谷 隆

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Tohoku University

    2023年4月1日 ～ 2027年3月31日

  2. ユニタリ推移作用素の幾何解析

    楯 辰哉

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2018年4月1日 ～ 2023年3月31日

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    周期的ユニタリ推移作用素の固有値や連続スペクトルの絶対連続性と局在性に関する論文が受理された．これにより，通常の定数コインをもつ量子ウォークの局在性を固有値の存在・不存在で判定することができる．また，この論文においては一般の結晶格子上の周期的ユニタリ推移作用素も含む形で議論してあるため，従来よりも広い範囲に適用できる結果となった．かなり一般の状況で議論した論文であったので，今後はより具体化する方向で研究を進めるべきであることは，すでに本研究課題の目的にも記載してある．本年度そのような具体的なモデルに対する研究は，数年来続けている１次元の定数コイン量子ウォークに対する半古典解析である．半古典解析とは半古典極限，つまりプランク定数に対応したパラメータをゼロにする極限下での解析を意味する．プランク定数は，いまの場合，定数コインが２次特殊ユニタリ行列であることに着目し，特殊ユニタリ群の表現の最高ウェイト（スピンパラメータ）の逆数に対応しているため，行列のサイズを大きくする極限ということになる．このような状況の解析には推移確率の積分表示が必要となるが，それは２次元球面上の積分として表示することが可能であることが数年前に得られている．この積分の取り扱い方法についても数年前までの研究である程度確立していた。問題は極限分布に正規分布を導出するための初期条件の選び方であった。この状況下では初期条件がプランク定数に依存するが、さらに極限分布が初期条件に大きく依存する可能性が高いことが数年前に観測されていて困難であった。昨年度までの研究で、ある程度標準的な初期条件の設定方法に目処はつけていた。今年度実際に標準的と思われる初期条件で解析を開始したものの、残念ながらまだ決定的な結果は得られていない。しばらくこの方向性で研究する予定ではあるが、設定を少し修正する必要性も込めて検討したい。

  3. 物質分離・輸送を最適化する多層・多孔質材料の離散曲面論

    小谷 元子, 楯 辰哉

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research on Innovative Areas (Research in a proposed research area)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research on Innovative Areas (Research in a proposed research area)

    研究機関：Tohoku University

    2017年6月30日 ～ 2022年3月31日

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    本計画研究では、多孔質構造を離散曲面論により記述し、優れた物性・機能と幾何学的不変量の相関を解析し、求められる機能をもつ多重ネットワークを分類することを目的としている。特に、多重ネットワーク構造の幾何学的不変量を計算し、物質分離・輸送を最適化するために機能との相関を解析する。古典的な曲面論の離散版となる離散曲面論を構築し、特に曲率や平均曲率の概念の導入および抽象的なグラフの分類と構造・機能計算を行う。それにより、最適構造の特定を行い、さらに、与えられた境界条件を変形するときにそれを張る「離散極小曲面」の変形、特に特異点のトポロジカルな変形(相転移)を理解するための新しい 数学的手法を開発することを目指している。 H31年度は、H29、H30年度の成果を踏まえて、引き続き多孔質物質をネットワークを用いて数理モデル化し幾何構造の抽出を行った。更に、抽出したネットワーク構造から連続な曲面構造を再構築する「収束定理」を数学的に構築し、この収束において離散的幾何量と連続的幾何量の関係を明らかにした。離散的なリッチ流などを用いて動的なネットワークについてモデルの検討を開始し、このことを基盤とし、更に、相分離による動的形成数理モデルの構築について引き続き推進する。 A03-2, A03-3との合同勉強会を開催し、数学―理論―実験のフィードバックをしっかり行い、モデル改良を行い最適構造を検討した。特にMOF, COF構造に離散曲面論を適用できる可能性について議論した。領域会議やワークショップの場において計画研究班や公募研究班との情報交換、議論を行い領域の形成に貢献する。

  4. 離散幾何解析学の進展

    砂田 利一, 楯 辰哉, 樋口 雄介, 赤間 陽二, 内藤 久資, 阿原 一志

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：Meiji University

    2015年4月1日 ～ 2019年3月31日

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    本研究では、数学的結晶理論のトピック、中でも最近の系統的結晶デザインの発展に触発されて、「標準的結晶モデル」、「タイト枠」、「グラスマン多様体の有理点」、「2次の不定方程式系」の間の興味深い関係について探求した。核となる対象は、結晶的タイト枠であり、これはルート系の一般化である。さらに、最近発展しつつあるtropical geometryとの関連を調べ、結晶の標準モデルがアーベル・ヤコビの写像の離散類似として説明されることを見出した。 これに加えて、準結晶の理論にも踏み込み、一般化されたリーマン和を定式化することにより算術的に定義されたいくつかおの離散集合は準結晶となっていることを確かめた。

  5. 離散幾何解析学としての量子ウォークの研究

    楯 辰哉

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Tohoku University

    2013年4月1日 ～ 2019年3月31日

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    量子ウォークとはランダムウォークの量子論的側面で，コンピュータサイエンスに多くの応用を持つ．例えばグローバーの量子検索アルゴリズムがAmbainisらによりグローバーウォークという量子ウォークの一種によって改良された経緯を持つ．本研究課題では量子ウォークの数学理論としての発展を念頭におき，その定性的性質を調べることに専念した．ランダムウォークの重要性の一つはその離散群論への応用でり，結晶格子理論でも重要な役割を演じる．そこで量子ウォークの離散幾何解析学的な問題を考察し，１次元斉次量子ウォークの代数的側面や結晶格子上の量子ウォークの設定やそのスペクトル論的な挙動についての結果などを得た．

  6. 量子スピン系の離散幾何解析学

    小谷 元子, 熊谷 隆, 塩谷 隆, 尾畑 伸明, 楯 辰哉, 宮岡 礼子

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：Tohoku University

    2012年4月1日 ～ 2017年3月31日

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    物性物理における基本的な研究題材である電気伝導性、特に電子のもつスピンに注目し波動関数のなすバンド構造のトポロジカルな性質であるトポロジカル絶縁体とその表面流について、無秩序系を含む定式化を非可換幾何学の枠組みで構成した。量子ウォークや、カーボンナノチューブにおける物性研究を行うために、離散曲面論を構築し、離散データから連続体の幾何学を抽出する方法を考察した。これによりミクロ構造とマクロ物性の関係を解明する方向性を見出した。

  7. 葉層構造における指数定理の展開

    森吉 仁志, 夏目 利一, 前田 吉昭, 三松 佳彦, 小野 薫, 宮崎 直哉, 高倉 樹, 楯 辰哉

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Nagoya University

    2013年4月1日 ～ 2016年3月31日

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    第一に，カントール集合やシェルピンスキーガスケットなどのフラクタル集合上へ指数定理を拡張した．第二に，非可換幾何の枠組を用いてAtiyah-Patodi-Singer 指数定理を境界付多様体の正規被覆空間上に拡張し，一般の巡回コサイクルとK群のペアリングを与える指数定理を証明した．第三に，Gerbe の特性類である Dixmier-Douady 類と葉層の特性類である Godbillon-Vey 類が，Cheeger-Chern-Simons 不変量を通じて結びつくことを明らかにし，円周の微分同相群の中心拡大をCalabi 不変量を用いて記述することに成功した．

  8. 離散幾何解析学の展開

    砂田 利一, 楯 辰哉, 樋口 雄介, 阿原 一志

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Meiji University

    2012年4月1日 ～ 2016年3月31日

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    数学的結晶理論の研究を行い、標準的実現がwavelet解析に登場するtight frameに密接に関連することを見出した。Tight frameの中でも、結晶的tight frameの概念が重要であり、その性質を詳細に研究した。これはグラスマン多様体上の有理点とも関連し、有理点の数え上げの問題が重要となることを指摘した。準結晶に関連する研究では、古典的なガウスの問題に登場する離散集合が、Poisson型の凖結晶に「近い」ことを発見し、near quasicrystal の理論への出発点とした。

  9. シュレディンガー方程式のスペクトル・散乱理論の研究

    中村 周, 足立 匡義, 中野 史彦, 藤家 雪朗, 田村 英男, 谷島 賢二, 磯崎 洋, 岩塚 明, 南 就将, 上木 直昌, 野村 祐司, 土居 伸一, 楯 辰哉, 峯 拓矢, 伊藤 健一

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：The University of Tokyo

    2009年4月1日 ～ 2014年3月31日

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    シュレディンガー方程式のスペクトル理論、散乱理論、また偏微分方程式としての解の構造について、関数解析、超局所解析、実解析、確率論などの手法を用いて研究を行い、1.シュレディンガー方程式の解の超局所特異性、2.多様体上のシュレディンガー方程式のスペクトル・散乱理論、3.電磁場中の多体粒子の散乱理論、4.シュレディンガー方程式の半古典極限、5.ランダムシュレディンガー作用素と電荷輸送の理論、等を含む研究成果を得た。研究成果は、現在も継続中のものを除いて、現時点までに39編の論文として出版された（印刷中を含む）。

  10. 凸多面体に付随する幾何学的漸近解析の諸問題の研究

    楯 辰哉

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

    研究種目：Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

    研究機関：Nagoya University

    2009年 ～ 2012年

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    凸多面体のうち頂点が格子点であるものを格子凸多面体というが、一般の格子凸多面体内の格子点によって定義されるリーマン和の漸近展開公式を、一般の滑らかな関数に対して得ることが出来た。これはBerline-Vergneによる多項式のリーマン和の局所Euler-Maclaurin公式の一般化に相当する。また格子凸多面体がDelzant条件を満たす場合に漸近展開の第三項の明示公式を得た。

  11. ランダム行列の普遍性と半古典量子論

    永尾 太郎, 楯 辰哉, 齊藤 圭司

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Nagoya University

    2008年 ～ 2012年

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    実非対称ランダム行列と実対称ランダム行列を連続的に結ぶ行列アンサンブルの固有値相関関数を評価し、行列のサイズが大きい極限における漸近的な振る舞いを導いた。また、量子カオス系に対して半古典的なダイアグラム展開の方法を適用して、普遍的な性質を再現した。さらに、複雑ネットワークの理論にランダム行列の方法を適用し、平均次数が大きい極限では、ネットワークを記述する行列の固有値密度を解析的に評価できることを示した。

  12. 離散解析幾何学の発展と応用

    砂田 利一, 楯 辰哉, 樋口 雄介, 阿原 一志

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Meiji University

    2009年 ～ 2011年

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    本研究の主要な目的は、結晶の形態分類に起源を持つ結晶学に数学的観点を供給することであった。方法としては、20世紀前半に開拓された代数的位相幾何学、特にホモロジー論と被覆写像の理論を用いている。さらに、離散幾何解析のフレームワークの中で、結晶構造に対する最小原理を用いて得られる最大対称性を有する「標準的実現」の概念に新たな知見を与えるとともに、そのアルゴリズムを構築した。これらの成果は、物質科学において重要な結晶デザインに大きく寄与している。また、標準的実現と離散的代数幾何学の深い関係を見出し、この分野の発展に貢献した。

  13. ランダム性を通して見る離散空間の幾何学

    小谷 元子, 塩谷 隆, 新井 仁之, 熊谷 隆, 井関 裕靖, 納谷 信, 楯 辰哉, 石渡 聡

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：Tohoku University

    2008年 ～ 2011年

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    幾何学と確率論の異なる分野の関わりを通じて、これまで扱えなかった特異性のある空間や離散的な空間の幾何学の新たな研究方法を開拓することを目的とし、ランダムウォークの量子版である量子ウォークや、非対称ランダムウォークの長時間挙動の幾何学的理解、ランダム群の固定点性質、Alexandrov空間のBishop-Gromov型の不等式、ランダムグラフの収束性などに関する結果を得て、発表した。

  14. 巨大な群上の調和解析に向けた確率論と表現論の融合的研究

    洞 彰人, 岡田 聡一, 楯 辰哉, 平井 武, 尾畑 伸明, 下村 宏彰, 河添 健, 山田 裕史, 新井 仁之, 西山 享, 伊師 英之, 松本 詔, 稲浜 譲

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Nagoya University

    2007年 ～ 2010年

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    巨大な群上での調和解析の展開に向けて、確率論と表現論の融合的な研究を推進した。調和解析とは、事物の対称性に着目することによって深い数学的構造を見出し、それに立脚した解析を行う学問分野である。本研究では、無限自由度をもつ大規模な対象を扱うため、その対称性を記述する群として巨大な群が現れる。得られた成果の中で最も主要なものは、(i)調和解析の素子となる指標と呼ばれる関数の分類と具体形を与える公式、および(ii)群の表現の漸近挙動と確率論の極限定理をつなぐ一連の結果である。

  15. 幾何学と物理学の統合によるポアソン幾何学から非可換微分幾何学への展開

    前田 吉昭, 森吉 仁志, 下村 俊, 石井 一平, 亀谷 幸生, 宮崎 琢也, 田村 要造, 池田 薫, 栗原 将人, 太田 克弘, 厚地 淳, 戸瀬 信之, 大森 英樹, 深谷 賢治, 楯 辰哉, 綿村 哲, 今野 宏, 河野 俊丈, ゲスト マーチン, 三上 健太郎, 小野 薫, 山口 佳三, 三松 佳彦, 宮岡 礼子, 二木 昭人, 松尾 泰, 水谷 忠良, 太田 啓史, ケスト マーチン, 松尾 泰, 三上 健太郎, 深谷 賢治, 小野 薫, 綿村 哲

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：Keio University

    2006年 ～ 2009年

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    本研究では、非可換幾何学と物理学との連携研究を通して、多くの成果を挙げてきた。非可換多様体の非可換ゲージ理論の提案を中心として、非可換岩沢理論、量子戸田格子の代数的可積分性、ベルンシュタイン測度、超弦理論とGeneralized complex geometry、ループ空間のChern-Simons不変量の導出、量子コホモロジーとフロベニウス多様体、シンプレクティックトポロジーおよび接触トポロジー等についての成果を、学会発表や学術書「Noncommutative Geometry and Physics」, Advanced Studies in Pure Mathematics 55」、「Translations of Mathematical Monographs, 237」および各研究者による学術論文として発表した。

  16. 量子統計的視点からの幾何学的漸近解析の諸問題の研究

    楯 辰哉

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

    研究種目：Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

    研究機関：Nagoya University

    2006年 ～ 2008年

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    ボゾンガスの状態数の漸近挙動についての結果を得た。また、M.Stolz氏との共同研究において、ランダム行列理論に現れるモーメント積分の、一般のコンパクト連結リー群での類似物を考察し、テンソル積を表すパラメータについての漸近挙動に関する結果を得た。更に、S.Zelditch氏の導入・考察したDelzant凸多面体上の Bergman-Bernstein測度に示唆され、一般の凸多面体上でBernstein測度を導入・考察した。その結果、漸近展開公式などの諸性質を明らかにし、さらにBergman-Bernstein測度との関連を明らかにした。

  17. 幾何学における統計法則

    小林 亮一, 楯 辰哉, 満渕 俊樹, 榎 一郎, 二木 昭人, 翁 林, 山の井 克俊, 楯 辰哉, 満渕 俊樹, 二木 昭人, 榎 一郎, 翁 林, 佐藤 肇

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (A)

    研究機関：Nagoya University

    2005年 ～ 2008年

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    (1) 代数的極小曲面のガウス写像の値分布論の構築.集団コーン・フォッセン不等式と周期条件のネバンリンナ理論への翻訳が理論の要である.(2)正の4元数ケーラー多様体の枠バンドルから定まるツイスター空間上のある主東上の横断的アインシュタイン計量と, その回りの横断的リッチフロー不安定セルの構成.

  18. 非可換解析を基礎とする非可換微分幾何学の構築と超弦理論への展開

    前田 吉昭, 森吉 仁志, 亀谷 幸生, 楯 辰也, 大森 英樹, 綿村 哲, 宮崎 琢也, 鈴木 由紀

    2003年 ～ 2005年

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    本研究を主導する研究代表者は、収束する変形量子化の構成から新しい幾何学的概念を展開した。特に、ジャーブ理論との深い関係が解明され、これを詳しく調べた。第二には、Lie環を基本とする1次ポアソン構造、2次ポアソン構造に対する変形量子化を応用できるような具体的体系を整え、その応用へ発展させている。保形形式で注目されているCohen-Rankin積は、不変量子化として考えられているが、この研究を研究分担者である宮崎(琢)の協力を求めて解明をはじめている。森吉は、トポロジーの立場から非可換多様体の不変量の構成、特に指数定理の研究を行なう。特に、非可換トーラス上のDirac作用素による指数定理の構成をめざし、佐々木多様体の指数定理を得ている。亀谷は4次元多様体の不変量として研究が進んでいるザイバーグ・ウィッテン不変量の研究、特に11/8予想についての研究を行って、成果を挙げている。これらの研究の展開のために、国外外研究者との討議等を行ない、海外研究者と研究交流のために、直接海外に赴き、以下の研究者と共同研究や研究討論を行ってきた。 Alan Weinstein : University of California Berkley, Prof., Poisson Geometry Albert Cattaneo : ETH, Zurich, Prof., Theoretical physics Alain Connes : IHES, Paris, Prof., Noncommutative geometry その成果をまとめるために、A.WeinsteinとA.Cattaneoが来年来日する。

  19. 楕円型作用素、並びに群作用に対する固有関数とその値分布の漸近挙動の研究

    楯 辰哉

    2003年 ～ 2005年

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    1.固有関数の分布関数の漸近挙動を理解するために研究を進めた。この問題は、一般的な解決は困難であるが、球面などの対称性の高い空間のラプラス作用素の標準的な固有関数や調和振動子などの良く知られた作用素の固有関数の分布関数について、その漸近挙動の様子を知ることを目標とした。球面の固有関数、つまり球面調和関数の分布関数を調べるために、固有関数を射影子の積分核の表示を用いて積分表示し、漸折挙動を調べるという当初の方針は妥当なものであろうと思われる。しかし積分の特異点の周りでの挙動を解析しきれず、思わしい結果を得ることが出来なかった。今後の課題として残されている。 2.前年度にZelditch氏との共同研究で得た結果を、前年度に引き続き報告した。これは、コンパクト群の既約表現のテンソル積表現内のウェイトの重複度の漸近挙動に関する結果であった。この研究においてテンソル積の次数は粒子の数に相当するが、これを一般の楕円型作用素を用いて考えるとき、ボゾンガスの状態数が自然と現れる。ボゾンガスの状態数は解析数論でしばしば現れる分割数のスペクトル論的な類似物でもある。本年度は分割数の漸近挙動についてのMeinardusの定理の手法を用いて、ボゾンガスの状態数の漸近挙動を書き下すことに成功した。現存論文を作成中である。また、この内容は幾つかの研究会で発表したが、特にESI Educational workshop on discrete probability (3/21, ESI, Vienna)で講演した。さらに日本数学会年会(3月28日)で特別講演を行う予定である。 3.コンパクト群のテンソル積表現のウェイトの重複度の漸近挙動の問題に関連して、ランダム行列理論に自然に現れるモーメント積分の、テンソル積のパラメータについての漸近挙動について、現在Stolz氏と共同研究中である。

  20. 指数定理を中心とする非可換幾何学の研究と低次元多様体論

    森吉 仁志, 前田 吉昭, 亀谷 幸生, 楯 辰哉, 夏目 利一, 小野 薫

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Keio University

    2002年 ～ 2004年

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    本研究では,低次元多様体論の多大な発展を背景としつつ,従来の(可換)微分幾何の枠組を超えてAtiyah-Singer指数定理の一般化を目標とした.本研究における主要な結果は次のとおりである. 被覆空間上の被覆変換群作用に関してTwisted Γ-index theoremを証明した.詳しくは次のとおりである:変換群Γをもつ正規被覆空間M→M/ΓとU(1)に値をもつΓの2-コサイクルσをとり,σで捻ったΓのC^*群環C^*(Γ,σ)を考える.ここでσが実数値の2-コサイクルcに持ち上がっていると仮定する.即ちexp(√<-1>c)=σである.このとき微分型式Ω^q(M)を係数加群とする群Γの二重チェイン複体C^P(Γ,Ω^q(M))において,cはΓ不変なM上の2型式ωとコホモローグになる.さらにσが定める中心拡大Γ^^^に関して,積束L=M×C上にΓ作用と両立するΓ^^^作用が定義され,この作用に関して不変な接続∇が存在する.ここで次の定理が成り立つ.:上記の直線束Lに係数をもつDirac作用素をD^∇とするとき,IndD^∇∈K_0(C^*(Γ,σ))であり;γをC^*(r,σ)のトレイスとしR=∇^2=√<-1>ωとすると,_T(IndD^∇)をA^^^(M/Γ)およびRで表す指数公式が存在する. この定理の応用として次の結果が成り立つ:シンプレクティック閉多様体Mがaspherical,即ちその普遍被覆空間が可縮ならば,Mは正スカラー曲率をもつリーマン計量を許容しない.ここでMはスピン多様体でなくともよい点を注意しておく.この結果は,任意のclosed aspherial manifoldは正スカラー曲率をもつリーマン計量を許容しないだろうというGromov-Larwson予想の部分的解決になっている.

  21. ポアソン幾何学の研究とその数理物理への応用

    前田 吉昭, 石井 一平, 谷 温之, 菊池 紀夫, 亀谷 幸生, 森吉 仁志, 下村 俊, 楯 辰也

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Keio University

    2000年 ～ 2002年

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    ポアソン幾何学は、シンプレクティク幾何学を拡張した概念として、この数年間多くの問題が提出され、国際的に研究が推進されている。しかしながら、この研究分野は国内ではあまり多くの研究者や研究が活発ではないことが否めない。本研究では、ポアソン幾何学が国内での研究を促進すること、国際的な研究連携を行う立場から、積極的な研究を行ってきた。研究の第一は、変形量子化問題の収束性においた。形式的な変形量子化の収束性については、ある程度の結果が出来ているが、収束性については、今後重点的に行うべき課題である。本研究では、その困難さ、考察すべき現象について研究を行い、新しい幾何学概念として、Blurred manifoldsの構成と幾何学的定式化を行っている。これは、本件急を出発点としてこれから継続される研究である。非可換幾何学と超弦理論との関連から、素粒子物理学との共同研究を行った。本研究により、2001年、2002年に超弦理論と非可換幾何学に関する国際会議を行い、多くの外国人招聘により、研究討議が行えた。その結果は、2001年度に行われた国際会議についてはプロシーディングスまとめられた。2002年の国際会議については、現在出版準備中である。本研究代表者は、国外、特に、欧米の関連研究者との共同研究を多く実施した。2002年には、ポアソン幾何学国際会議(リスボン)の組織委員となり、本研究の中心問題の討議を行った。また、共同研究者は、シュレディンガー研究所での国際ワークショップ参加、他多くの海外研究機関での研究討論、研究打ち合わせを行い、将来の研究実施の基盤を作った。北京大学、中国科学アカデミーでのワークショップも大きな成果である。

  22. ポアンカレ円板上のワイル型擬微分作用素とウィグナー変換

    楯 辰哉

    2001年 ～ 2001年

  23. 非可換幾何学とスペクトル流の指数定理

    森吉 仁志, 楯 辰哉, 亀谷 幸生, 前田 吉昭, 小野 薫, 夏目 利一

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Keio University

    2000年 ～ 2001年

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    本研究では従来の(可換)微分幾何の枠組を超えてAtiyah-Singer指数定理の一般化を行うために、低次元多様体論の多大な発展を背景としつつ:1.K理論や巡回コホモロジー理論を主要な表現手段とし、非可換微分幾何学の枠組を用いて、スペクトル流やEta不変量に関連した指数定理の精密・一般化を行う;2.精密・一般化された指数定理とMaslov類などの位相的二次特性類との関連を明確にする;ことを主要な研究目的とした。本年度における具体的な結果としては、2000年7月に全日本トポロジーシンポジウムにおいて、「解析的K理論と指数定理」という招待講演を行った。また非可換幾何学におけるAtiyah-Patodi-Singer指数定理およびエータ不変量とII型von Neumann環のスペクトル流の関連性についての研究も進展中である。この結果に関しては、Eta invariants, the Godbillon-Vey classes and the index therem,という題目で、2001年3月に慶応大学で開催された国際研究集会Workshop on Noncommutative Geometry and String Theoryで発表した。また非可換ホップ不変量に関する研究を行い、2001年12月に名古屋工業大学で行われた研究集会で、「スペクトル流、テープリッツ指数とホップ不変量」、として、2002年2月に鹿児島大学談話会で「ベクトル場の指数定理とHopf不変量」として発表した。

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