研究者詳細

顔写真

サカグチ　シゲル
坂口　茂
Shigeru Sakaguchi
所属
アドミッション機構　学部選抜部門
職名
特定教授
学位

  • 理学博士 （東京都立大学）

プロフィール

偏微分方程式の解の幾何学的性質を知ることを主な研究目的としています。偏微分方程式の解は関数ですからその形状や幾何学的性質を知りたいと思うのは自然な欲求です。現在の主な研究テーマは次のようです。

(1) 拡散方程式の解の不変な等位面：関数のグラフの形状を知るには, まず関数の等位面を調べることから始めるのが自然です。熱方程式の解のある等温面が不変であるとはその温度が時刻のみに依存することを言います。不変等温面の存在は熱伝導体の対称性と深く関係しています。 常螺旋面,円柱面,球面および平面は３次元ユークリッド空間内の不変等温面の例になっています。円柱面,球面および平面について,３次元空間内の不変等温面による特徴付けがほぼ完成し, 特に, 常螺旋面の良い特徴付けが期待されます。

(2) 複合媒質上の偏微分方程式の問題：最近,多相熱伝導体の中で平面層の不変等温面や不変等熱流面による特徴付けを得ました。複合媒質を扱う問題に特に興味を持っています。

(3) 拡散と領域の幾何の相互作用：熱伝導体の形状とその初期熱拡散は深く関係しています。熱方程式,多孔質媒質型方程式やその関連する拡散方程式を扱っています。

(4) 楕円型方程式の解の形状：一般に楕円型方程式の解は時間が十分経ったときの定常状態を記述しています。リュービル型定理は超平面をある制限下での全域解のグラフとして特徴付けます。過度境界値問題は対称性をもつ領域を特徴付けます。境界値問題に付随する等周不等式はその等号を実現する解の形状を特徴付けます。

(5) 逆問題の視点：偏微分方程式は自然現象を記述するモデルによく現れます。逆問題の視点から意味のある方法で幾何学的対象を特徴付ける興味深い問題が多くあります。

経歴 10

  • 2025年4月 ～ 継続中
    東北大学　アドミッション機構　特定教授

  • 2022年4月 ～ 継続中
    東北大学　名誉教授

  • 2024年4月 ～ 2025年3月
    東北大学　高度教養教育・学生支援機構　特定教授

  • 2022年4月 ～ 2024年3月
    津田塾大学　非常勤講師

  • 2012年4月 ～ 2022年3月
    東北大学　教授

  • 2008年4月 ～ 2012年3月
    広島大学　教授

  • 2002年2月 ～ 2008年3月
    愛媛大学　教授

  • 1993年4月 ～ 2002年1月
    愛媛大学　助教授

  • 1989年4月 ～ 1993年3月
    東京工業大学　助手

  • 1988年4月 ～ 1989年3月
    沼津工業高等専門学校　講師

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学歴 4

  • 東京都立大学　理学研究科　数学

    ～ 1986年

  • 東京都立大学

    ～ 1986年

  • 東京工業大学　理学部　数学

    ～ 1979年

  • 東京工業大学

    ～ 1979年

委員歴 2

  • 日本数学会　代議員

    2007年 ～ 2007年

  • 日本数学会　`数学' 編集委員

    2003年 ～ 2007年

所属学協会 2

  • アメリカ数学会

    ～ 2021年12月

  • 日本数学会

研究キーワード 5

  • 複合媒質

  • 楕円型及び放物型方程式

  • 逆問題の視点

  • 解の幾何学的性質

  • 偏微分方程式論

研究分野 1

  • 自然科学一般 / 基礎解析学 / 偏微分方程式論

受賞 1

  1. 2012年度（第11回）解析学賞

    2012年9月　日本数学会　拡散方程式の不変等温面と領域の幾何学

論文 63

  1. The stationary critical points of the fractional heat flow 査読有り

    Nicola De Nitti, Shigeru Sakaguchi

    Journal of Differential Equations　455　113996-113996　2026年2月

    出版者・発行元：

    DOI： 10.1016/j.jde.2025.113996 　

    ISSN：0022-0396

  2. Non-isoparametric Serrin domains of $\mathbb{S}^3$ with connected toric boundary

    Andrea Bisterzo, Shigeru Sakaguchi

    arXiv:2511.16531v1　2025年11月

  3. Interaction Between Initial Behavior of Temperature and the Mean Curvature of the Interface in Two-Phase Heat Conductors 査読有り

    Shigeru Sakaguchi

    The Journal of Geometric Analysis　35　(8)　2025年6月11日

    出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC

    DOI： 10.1007/s12220-025-02058-5 　

    ISSN：1050-6926

    eISSN：1559-002X

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    Abstract We consider the Cauchy problem for the heat diffusion equation in the whole Euclidean space consisting of two media locally with different constant conductivities, where initially one medium has temperature 0 and the other has temperature 1. Under the assumption that a part of the interface between two media with different constant conductivities is of class $$C^2$$ in a neighborhood of a point x on it, we extract the mean curvature of the interface at x from the initial behavior of temperature at x. This result is purely local in space. As a corollary, when the whole Euclidean space consists of two media globally with different constant conductivities, it is shown that if a connected component $$\Gamma $$ of the interface is of class $$C^2$$ and is stationary isothermic, then the mean curvature of $$\Gamma $$ must be constant. Moreover, we apply this result to some overdetermined problems for two-phase heat conductors and obtain some symmetry theorems which relax considerably the regularity assumptions of some previous results.

  4. Symmetry results for some overdetermined obstacle problems 査読有り

    Nicola De Nitti, Shigeru Sakaguchi

    Proc. Amer. Math. Soc.　153　2919-2932　2025年5月20日

  5. Two extremum problems for Neumann eigenvalues 査読有り

    Lorenzo Cavallia, Kei Funano, Antoine Henrot, Antoine Lemenant, Ilaria Lucardesi, Shigeru Sakaguchi

    J. Anal. Math.　155　657-697　2025年3月24日

  6. A characterization of a hyperplane in two-phase heat conductors 査読有り

    Lorenzo Cavallina, Shigeru Sakaguchi, Seiichi Udagawa

    Communications in Analysis and Geometry　31　(7)　1867-1888　2024年8月10日

    出版者・発行元：

    DOI： 10.4310/cag.2023.v31.n7.a9 　

    ISSN：1019-8385

    eISSN：1944-9992

  7. A symmetry theorem in two-phase heat conductors 招待有り 査読有り

    Hyeonbae Kang, Shigeru Sakaguchi

    Mathematics in Engineering　5　(3)　1-7　2022年11月

    出版者・発行元：

    DOI： 10.3934/mine.2023061 　

    ISSN：2640-3501

  8. Patterns with prescribed numbers of critical points on topological tori 査読有り

    Putri Zahra Kamalia, Shigeru Sakaguchi

    Complex Variables and Elliptic Equations　67　(10)　2382-2396　2022年10月3日

    出版者・発行元：

    DOI： 10.1080/17476933.2021.1924157 　

    ISSN：1747-6933

    eISSN：1747-6941

  9. Existence of weakly neutral coated inclusions of general shape in two dimensions 査読有り

    Hyeonbae Kang, Xiaofei Li, Shigeru Sakaguchi

    Applicable Analysis　101　(4)　1330-1353　2022年3月4日

    出版者・発行元：

    DOI： 10.1080/00036811.2020.1781821 　

    ISSN：0003-6811

    eISSN：1563-504X

  10. The principal eigenfunction of the Dirichlet Laplacian with prescribed numbers of critical points on the upper half of a topological torus 査読有り

    Putri Zahra Kamalia, Shigeru Sakaguchi

    Journal of Mathematical Analysis and Applications　509　(2)　125972　2022年1月

  11. Large time behavior of temperature in two-phase heat conductors 査読有り

    Hyeonbae Kang, Shigeru Sakaguchi

    Journal of Differential Equations　303　268-276　2021年12月

  12. Polarization tensor vanishing structure of general shape: Existence for small perturbations of balls 査読有り

    Hyeonbae Kang, Xiaofei Li, Shigeru Sakaguchi

    Asymptotic Analysis　125　(1-2)　101-132　2021年9月

  13. The double queen Dido's problem 査読有り

    Lorenzo Cavallina, Antoine Henrot, Shigeru Sakaguchi

    Journal of Geometric Analysis　31　(8)　7750-7772　2021年8月

    出版者・発行元：

    DOI： 10.1007/s12220-020-00549-1 　

    ISSN：1050-6926

    eISSN：1559-002X

  14. Neutral inclusions, weakly neutral inclusions, and an over-determined problem for confocal ellipsoids 査読有り

    Yong-Gwan Ji, Hyeonbae Kang, Xiaofei Li, Shigeru Sakaguchi

    `` Geometric Properties of Parabolic and Elliptic PDE's ", Springer INdAM Series,　47　151-181　2021年6月

  15. Two-Phase Heat Conductors with a Surface of the Constant Flow Property 査読有り

    Lorenzo Cavallina, Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    Journal of Geometric Analysis　31　(1)　312-345　2021年1月

    出版者・発行元：

    DOI： 10.1007/s12220-019-00262-8 　

    ISSN：1050-6926

    eISSN：1559-002X

  16. A construction of patterns with many critical points on topological tori 査読有り

    Putri Zahra Kamalia, Shigeru Sakaguchi

    Nonlinear Differential Equations and Applications NoDEA　27　(4)　27:39　2020年7月

  17. Some characterizations of parallel hyperplanes in multi-layered heat conductors 査読有り

    Shigeru Sakaguchi

    Journal de Mathématiques Pures et Appliquées　140　185-210　2020年6月

  18. Two-phase heat conductors with a stationary isothermic surface and their related elliptic overdetermined problems 招待有り 査読有り

    Shigeru Sakaguchi

    RIMS Kôkyûroku Bessatsu　B80　113-132　2020年4月

  19. A simple proof of a strong comparison principle for semicontinuous viscosity solutions of the prescribed mean curvature equation 査読有り

    Masaki Ohnuma, Shigeru Sakaguchi

    Nonlinear Analysis Theory, Methods and Applications　181　180-188　2019年4月

  20. Stationary isothermic surfaces in Euclidean 3-space 査読有り

    Rolando Magnanini, Daniel Peralta-Salas, Shigeru Sakaguchi

    MATHEMATISCHE ANNALEN　364　(1-2)　97-124　2016年2月

    DOI： 10.1007/s00208-015-1212-1 　

    ISSN：0025-5831

    eISSN：1432-1807

  21. SOLUTIONS OF ELLIPTIC EQUATIONS WITH A LEVEL SURFACE PARALLEL TO THE BOUNDARY: STABILITY OF THE RADIAL CONFIGURATION 査読有り

    Giulio Ciraolo, Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    JOURNAL D ANALYSE MATHEMATIQUE　128　(1)　337-353　2016年2月

    DOI： 10.1007/s11854-016-0011-2 　

    ISSN：0021-7670

    eISSN：1565-8538

  22. Two-phase heat conductors with a stationary isothermic surface 招待有り 査読有り

    Shigeru Sakaguchi

    Rendiconti dell'Istituto di Matematica dell'Universita di Trieste　48　(1)　167-187　2016年

    出版者・発行元： EUT Edizioni Universita di Trieste

    DOI： 10.13137/2464-8728/13155 　

    ISSN：0049-4704

  23. Symmetry Problems on Stationary Isothermic Surfaces in Euclidean Spaces 査読有り

    Shigeru Sakaguchi

    GEOMETRIC PROPERTIES FOR PARABOLIC AND ELLIPTIC PDE'S　176　231-239　2016年

    DOI： 10.1007/978-3-319-41538-3_13 　

    ISSN：2194-1009

  24. An over-determined boundary value problem arising from neutrally coated inclusions in three dimensions 査読有り

    Hyeonbae Kang, Hyundae Lee, Shigeru Sakaguchi

    ANNALI DELLA SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA-CLASSE DI SCIENZE　16　(4)　1193-1208　2016年

    ISSN：0391-173X

    eISSN：2036-2145

  25. When does the heat equation have a solution with a sequence of similar level sets? 査読有り

    Tatsuki Kawakami, Shigeru Sakaguchi

    ANNALI DI MATEMATICA PURA ED APPLICATA　194　(6)　1595-1605　2015年12月

    DOI： 10.1007/s10231-014-0435-1 　

    ISSN：0373-3114

    eISSN：1618-1891

  26. Symmetry of minimizers with a level surface parallel to the boundary 査読有り

    Giulio Ciraolo, Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    JOURNAL OF THE EUROPEAN MATHEMATICAL SOCIETY　17　(11)　2789-2804　2015年

    DOI： 10.4171/JEMS/571 　

    ISSN：1435-9855

  27. INTERACTION BETWEEN FAST DIFFUSION AND GEOMETRY OF DOMAIN 査読有り

    Shigeru Sakaguchi

    KODAI MATHEMATICAL JOURNAL　37　(3)　680-701　2014年10月

    DOI： 10.2996/kmj/1414674616 　

    ISSN：0386-5991

  28. Matzoh ball soup revisited: the boundary regularity issue 査読有り

    Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    MATHEMATICAL METHODS IN THE APPLIED SCIENCES　36　(15)　2023-2032　2013年10月

    DOI： 10.1002/mma.1551 　

    ISSN：0170-4214

  29. Stationary level surfaces and Liouville-type theorems characterizing hyperplanes 査読有り

    Shigeru Sakaguchi

    Springer INdAM Series　2　269-282　2013年

    出版者・発行元： Springer International Publishing

    DOI： 10.1007/978-88-470-2841-8_17 　

    ISSN：2281-5198 2281-518X

  30. Interaction between nonlinear diffusion and geometry of domain 査読有り

    Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS　252　(1)　236-257　2012年1月

    DOI： 10.1016/j.jde.2011.08.017 　

    ISSN：0022-0396

  31. Optimization problems on general classes of rearrangements 査読有り

    F. Cuccu, G. Porru, S. Sakaguchi

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS　74　(16)　5554-5565　2011年11月

    DOI： 10.1016/j.na.2011.05.039 　

    ISSN：0362-546X

    eISSN：1873-5215

  32. Some fully nonlinear elliptic boundary value problems with ellipsoidal free boundaries 査読有り

    Cristian Enache, Shigeru Sakaguchi

    MATHEMATISCHE NACHRICHTEN　284　(14-15)　1872-1879　2011年10月

    DOI： 10.1002/mana.200810170 　

    ISSN：0025-584X

  33. A LIOUVILLE-TYPE THEOREM FOR SOME WEINGARTEN HYPERSURFACES 査読有り

    Shigeru Sakaguchi

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES S　4　(4)　887-895　2011年8月

    DOI： 10.3934/dcdss.2011.4.887 　

    ISSN：1937-1632

    eISSN：1937-1179

  34. Nonlinear diffusion with a bounded stationary level surface 査読有り

    Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    ANNALES DE L INSTITUT HENRI POINCARE-ANALYSE NON LINEAIRE　27　(3)　937-952　2010年5月

    DOI： 10.1016/j.anihpc.2009.12.001 　

    ISSN：0294-1449

  35. Stationary isothermic surfaces and some characterizations of the hyperplane in the N-dimensional Euclidean space 査読有り

    Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS　248　(5)　1112-1119　2010年3月

    DOI： 10.1016/j.jde.2009.11.017 　

    ISSN：0022-0396

  36. Polygonal heat conductors with a stationary hot spot 査読有り

    Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    JOURNAL D ANALYSE MATHEMATIQUE　105　1-18　2008年1月

    DOI： 10.1007/s11854-008-0029-1 　

    ISSN：0021-7670

  37. A linear-quadratic control problem with discretionary stopping 査読有り

    Shigeaki Koike, Hiroaki Morimoto, Shigeru Sakaguchi

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES B　8　(2)　261-277　2007年9月

    ISSN：1531-3492

  38. Stationary isothermic surfaces for unbounded domains 査読有り

    Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    INDIANA UNIVERSITY MATHEMATICS JOURNAL　56　(6)　2723-2738　2007年

    DOI： 10.1512/iumj.2007.56.3150 　

    ISSN：0022-2518

  39. Interaction between degenerate diffusion and shape of domain 査読有り

    R. Magnanini, S. Sakaguchi

    PROCEEDINGS OF THE ROYAL SOCIETY OF EDINBURGH SECTION A-MATHEMATICS　137　(2)　373-388　2007年

    DOI： 10.1017/S0308210505001071 　

    ISSN：0308-2105

  40. Stationary isothermic surfaces and uniformly dense domains 査読有り

    R. Magnanini, J. Prajapat, S. Sakaguchi

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　358　(11)　4821-4841　2006年11月

    DOI： 10.1090/S0002-9947-06-04145-6 　

    ISSN：0002-9947

  41. Behavior of spatial critical points and zeros of solutions of diffusion equations

    S. Sakaguchi

    American Mathematical Society Translations Series 2　215　15-31　2005年

  42. On heat conductors with a stationary hot spot 査読有り

    Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    ANNALI DI MATEMATICA PURA ED APPLICATA　183　(1)　1-23　2004年3月

    DOI： 10.1007/s10231-003-0077-1 　

    ISSN：0373-3114

  43. On stationary hot spots and isothermic surfaces

    R Magnanini, S Sakaguchi

    PROGRESS IN ANALYSIS, VOLS I AND II　877-881　2003年

  44. Matzoh ball soup: Heat conductors with a stationary isothermic surface 査読有り

    R Magnanini, S Sakaguchi

    ANNALS OF MATHEMATICS　156　(3)　931-946　2002年11月

    ISSN：0003-486X

  45. Stationary critical points of the heat flow in the plane 査読有り

    R Magnanini, S Sakaguchi

    JOURNAL D ANALYSE MATHEMATIQUE　88　383-396　2002年

    ISSN：0021-7670

  46. Regularity of the interfaces with sign changes of solutions of the one-dimensional porous medium equation 査読有り

    S Sakaguchi

    JOURNAL OF DIFFERENTIAL EQUATIONS　178　(1)　1-59　2002年1月

    DOI： 10.1006/jdeq.2000.4002 　

    ISSN：0022-0396

  47. 拡散方程式の解の空間臨界点と零点の挙動 招待有り 査読有り

    坂口 茂

    数学　54　(3)　249-264　2002年

    出版者・発行元： The Mathematical Society of Japan

    DOI： 10.11429/sugaku1947.54.249 　

    ISSN：0039-470X

  48. Stationary critical points of the heat flow in spaces of constant curvature 査読有り

    S Sakaguchi

    JOURNAL OF THE LONDON MATHEMATICAL SOCIETY-SECOND SERIES　63　(2)　400-412　2001年4月

    ISSN：0024-6107

  49. Spatial critical points not moving along the heat flow II: The centrosymmetric case 査読有り

    R Magnanini, S Sakaguchi

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT　230　(4)　695-712　1999年4月

    ISSN：0025-5874

  50. When are the spatial level surfaces of solutions of diffusion equations invariant with respect to the time variable? 査読有り

    S Sakaguchi

    JOURNAL D ANALYSE MATHEMATIQUE　78　219-243　1999年

    ISSN：0021-7670

  51. On a class of L1-illposed quasilinear parabolic equations 査読有り

    S. Sakaguchi, T. Suzuki

    Advances in Differential Equations　4　(5)　671-696　1999年

  52. Nonexistence of solutions for a degenerate parabolic equation describing imperfect ignition 査読有り

    S Sakaguchi, T Suzuki

    NONLINEAR ANALYSIS-THEORY METHODS & APPLICATIONS　31　(5-6)　665-669　1998年3月

    ISSN：0362-546X

  53. Interior imperfect ignition cannot occur on a set of positive measure 査読有り

    S Sakaguchi, T Suzuki

    ARCHIVE FOR RATIONAL MECHANICS AND ANALYSIS　142　(2)　143-153　1998年

    ISSN：0003-9527

  54. Spatial critical points of nonnegative solutions of the evolution p-Laplacian equation : The fast diffusion case 査読有り

    S. Sakaguchi

    Differential and Integral Equations　10　(6)　1049-1063　1997年

  55. The spatial critical points not moving along the heat flow 査読有り

    R Magnanini, S Sakaguchi

    JOURNAL D ANALYSE MATHEMATIQUE　71　237-261　1997年

    ISSN：0021-7670

  56. The number of peaks of nonnegative solutions to some nonlinear degenerate parabolic equations 査読有り

    S Sakaguchi

    JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS　203　(1)　78-103　1996年10月

    DOI： 10.1006/jmaa.1996.0368 　

    ISSN：0022-247X

  57. MOVEMENT OF HOT-SPOTS OVER UNBOUNDED-DOMAINS IN RN 査読有り

    S JIMBO, S SAKAGUCHI

    JOURNAL OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND APPLICATIONS　182　(3)　810-835　1994年3月

    ISSN：0022-247X

  58. Critical points of solutions to the obstacle problem in the plane 査読有り

    S. Sakaguchi

    Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Ser IV　21　(2)　157-173　1994年

  59. UNIQUENESS OF THE CRITICAL-POINT OF THE SOLUTIONS TO SOME SEMILINEAR ELLIPTIC BOUNDARY-VALUE-PROBLEMS IN R2 査読有り

    S SAKAGUCHI

    TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　319　(1)　179-190　1990年5月

    ISSN：0002-9947

  60. UNIQUENESS OF CRITICAL-POINT OF THE SOLUTION TO THE PRESCRIBED CONSTANT MEAN-CURVATURE EQUATION OVER CONVEX DOMAIN IN R2 査読有り

    S SAKAGUCHI

    RECENT TOPICS IN NONLINEAR PDE IV　160　129-151　1989年

  61. Concavity properties of solutions to some degenerate quasilinear elliptic Dirichlet problems 査読有り

    S. Sakaguchi

    Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Ser IV　14　(3)　403-421　1987年

  62. COINCIDENCE SETS IN THE OBSTACLE PROBLEM FOR THE P-HARMONIC OPERATOR 査読有り

    S SAKAGUCHI

    PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY　95　(3)　382-386　1985年11月

    ISSN：0002-9939

  63. Star shaped coincidence sets in the obstacle problem 査読有り

    S. Sakaguchi

    Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Ser IV　11　(1)　123-128　1984年

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MISC 7

  1. 関数の形 招待有り

    坂口 茂

    数理科学　53　(10)　35-39　2015年10月

  2. Special Issue on "Geometric Properties for Parabolic and Elliptic PDE's" Preface

    Shigeru Sakaguchi

    KODAI MATHEMATICAL JOURNAL　37　(3)　2014年10月

    ISSN： 0386-5991

  3. 非線形拡散, 領域の幾何, および Liouville 型定理 (非線形拡散の数理)

    坂口 茂

    数理解析研究所講究録　1810　139-152　2012年10月

    出版者・発行元： 京都大学

    ISSN： 1880-2818

  4. PREFACE: GEOMETRIC PROPERTIES FOR PARABOLIC AND ELLIPTIC PDE'S

    Filippo Gazzola, Rolando Magnanini, Shigeru Sakaguchi

    DISCRETE AND CONTINUOUS DYNAMICAL SYSTEMS-SERIES S　4　(4)　I-II　2011年8月

    DOI： 10.3934/dcdss.2011.4.4i 　

    ISSN： 1937-1632

    eISSN： 1937-1179

  5. Stationary isothermic surfaces and a characterization of the spherical cylinder (Problems in the Calculus of Variations and Related Topics)

    坂口 茂

    数理解析研究所講究録　1628　48-57　2009年2月

    出版者・発行元： 京都大学

    ISSN： 1880-2818

  6. 微分方程式における自明解 招待有り

    坂口 茂

    数理科学　43　(11)　22-26　2005年11月

  7. Spatial critical points not moving along the heat flow II: The centrosymmetric case (vol 230, pg 695, 1999)

    R Magnanini, S Sakaguchi

    MATHEMATISCHE ZEITSCHRIFT　232　(2)　389-389　1999年10月

    ISSN： 0025-5874

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書籍等出版物 1

  1. 偏微分方程式の解の幾何学

    坂口 茂

    サイエンス社　2017年3月

共同研究・競争的資金等の研究課題 26

  1. 偏微分方程式の幾何解析と逆問題

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    2022年4月 ～ 2026年3月

  2. 楕円型作用素の解析とその幾何学的函数論への応用

    須川 敏幸, 志賀 啓成, 高橋 淳也, 相川 弘明, 柳原 宏, 船野 敬, 坂口 茂, 松崎 克彦, 菊田 伸

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Tohoku University

    2017年4月1日 ～ 2022年3月31日

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    研究代表者の須川は主に高次元擬等角写像の局所的な性質（連続度の評価など）および境界における挙動が各点ごとに定義された最大歪曲度からどのような制約を受けるかということについて研究を行った．そのため，高次元におけるタイヒミュラー型の評価を定式化し，さらにそれの境界版も確立した．現在はまだ基礎的な研究段階であるが，より複雑な（擬等角とは限らない）同相写像についての応用が見込まれる．また，一般次元における領域の境界の一様完全性とその領域の距離的またはポテンシャル論的な性質との関わりについてVuorinen氏らとの共同研究において考察を行った．さらに平面領域の場合には双曲計量を用いた新しい特徴付けがいくつか得られており，現在論文の形にまとめているところである． 分担者の相川氏はIntrinsic ultracontractivity の研究を応用して，Lipschitz領域やJohn領域をベースにするシリンダー上の熱方程式の優解の可積分性を与えた．これは正値優調和関数の可積分性に関する結果のの放物型拡張である． 分担者の志賀氏は一般化されたカントール集合の擬等角同値性をそのカントール集合を定義する数列によって評価し，それを用いてある条件のもとでカントール集合のハウ スドルフ次元が等しくなることを示した． 分担者の坂口氏は不連続な伝導係数を持つある楕円型作用素に対する非有界領域上の最大値原理や比較定理を示した．

  3. 偏微分方程式の幾何学と逆問題 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    2018年4月 ～ 2022年3月

  4. 複合媒質上の伝送問題と伝送条件を伴う優決定問題 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Challenging Exploratory Research

    2016年4月 ～ 2019年3月

  5. 偏微分方程式の解の幾何とそれに付随する逆問題 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    2014年4月 ～ 2018年3月

  6. 非線形楕円型方程式の固有値問題と逆問題の解析

    柴田 徹太郎, 坂口 茂, 田中 和永, 倉田 和浩

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Hiroshima University

    2013年4月1日 ～ 2017年3月31日

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    非線形常微分方程式の分岐曲線の漸近挙動の解析に関しては、生物学的・物理学的現象から導出された、自励系・非自励系の方程式の分岐曲線の大域的・局所的な漸近挙動の解析に取り組み、詳細な漸近公式を確立した。逆分岐問題に関しては、考察した方程式に含まれる定数が未知定数であると仮定したとき、方程式の分岐曲線の大域的挙動のみから未知の非線形項を決定できるか、などの研究課題にこれまでとは全く違う新しい視点から取り組み、成果を上げることができた。これらの成果により、今後の逆分岐問題の新しい切り口からの研究に対する基礎的結果を確立することができた。

  7. 楕円型方程式に関係する新しい等周不等式の探索 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for challenging Exploratory Research

    2013年4月 ～ 2016年3月

  8. 拡散と領域の幾何 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    2008年4月 ～ 2013年3月

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    広く拡散現象を記述する偏微分方程式を考える.解の挙動と領域の幾何との関係を知るため,初期挙動と境界の曲率との関係および時刻に関して不変な等位面の存在と領域の対称性との関係を明らかにした.特に,不変な等位面による球面,超平面および円柱面の特徴付けが得られ,領域の幾何を決定する逆問題の新展開がなされた.副産物として,ある重要なクラスのワインガルテン超曲面を記述する完全非線形楕円型偏微分方程式の粘性解に対するリュービル型定理が得られた.

  9. 非線形楕円型固有値問題の漸近解析と逆問題

    柴田 徹太郎, 坂口 茂, 田中 和永, 倉田 和浩

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Hiroshima University

    2009年 ～ 2012年

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    本研究では、非線形楕円型方程式の固有値や固有関数の漸近的性質を詳細に解析し、そこから派生する逆問題を考察した。その結果、さまざまなタイプの非線形項を含む方程式の大域的、局所的分岐構造を明らかにした。逆問題に関しては、ロジスティックタイプの方程式の分岐曲線の逆問題を中心に考察した。これに関して、常微分方程式論的アプローチと漸近展開の公式を援用することにより、分岐曲線の漸近的性質から、未知の非線形項を決定することに成功した。

  10. 非線形発展方程式及びその周辺分野の総合的研究

    大谷 光春, 山田 義雄, 田中 和永, 西原 健二, 石井 仁司, 小澤 徹, 小川 卓克, 剣持 信幸, 小池 茂昭, 坂口 茂, 鈴木 貴, 林 仲夫, 井戸川 知之, 石渡 通徳, 赤木 剛朗

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Waseda University

    2009年 ～ 2012年

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    物理・工学に現れる様々な非線形偏微分方程式(非線形楕円型方程式,非線形拡散方程式,非線形波動方程式,非線形シュレディンガー方程式及びそれらが結合した方程式系)に対して非線形発展方程式論の立場から,非線形関数解析学,実函数論,常微分方程式論,変分法などの手法を用いて総合的な研究を行った.

  11. 定曲率空間における不変な等温面と一様分離曲面 競争的資金

    坂口 茂

    2006年4月 ～ 2009年3月

  12. 密度依存型の拡散項をもつ反応拡散方程式の解の分岐構造

    観音 幸雄, 柳 重則, 坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Ehime University

    2007年 ～ 2009年

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    競争関係にある2種の個体群密度の動態を記述する密度依存型の拡散項をもつ反応拡散系(2種競争系)を扱い,生物の住処をある球の内部としたときの球対称定常解の解構造を調べた.定数定常解のまわりでの局所的な解構造は,第1種ベッセル関数を用いたある積分値の符号によって決定することができる.本研究では,数学的手法と数値的検証法により,住処の次元が3以下の場合にその符号を調べた.得られた研究成果は,2種競争系だけでなく,一般の反応拡散系における定数定常解のまわりでの局所的な解構造においても有効である.

  13. 非線形放物型初期境界値問題における解の対称性及び幾何学的性質 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for JSPS Fellows

    2006年10月 ～ 2008年9月

  14. 偏微分方程式の解の空間臨界点および等位面の挙動と解の形状 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Ehime University

    2003年4月 ～ 2007年3月

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    主な目的は偏微分方程式の解の形状(空間臨界点や等位面の挙動)と領域の形状や対称性との関わりについて研究することであった。この研究によって得られた新たな知見は主に次のようである。 1.ユークリッド空間の領域Ωの特性関数を初期値とする熱方程式の初期値問題の解が不変な等温面Γを一つもつのはどのような場合かを考察した。その必要条件として、ΩがΓで一様稠密であるというある幾何学的な概念を導入し、一様稠密な領域の分類を与えた。(Trans.Amer.Math.Soc., 358(2006), 4821-4841) 2.ユークリッド空間の有界領域Ωにおいて、線形および非線形拡散方程式の初期境界値問題で、初期値を零、境界値を正定数とするとき、境界∂Ωに1点で接するΩ内の球B内の解の空間積分の時刻t→0での漸近公式に∂Bと∂Ωの接点での∂Ωの主曲率が表れることを示し、拡散と領域磯何の関係を明らかにした。(Proc.Royal Soc.Edinburgh Sect.A, 137(2007), 373-388) 3.ユークリッド空間内の非有界な境界∂Ωをもつ領域Ω上の熱方程式の初期斉次ディリクレ問題で初期値を正定数とする解を考察し、もし一つの等温面が不変ならば∂Ωは超平面に限るという定理たちをΩに対するある大域的な条件の下に示した。(Indiana Univ.Math.J., to appear) 4.平面内の有界凸領域Ω上の熱方程式の初期斉次ディリクレ問題で初期値を正定数とする解を考察し、もし原点が常にホットスポットならぼ、Ωがm角形(m≧5)で原点を中心とした内接円がすべての辺に接するとき、Ωの対称性に関する新しい必要条件を与えた。(論文投稿中) 5.線形拡散方程式の初期境界値問題で初期値を零、境界値を正定数とする解の初期挙動が境界からの距離関数を用いて記述されるというVaradhan(1967)の定理を一様放物型の非線形拡散方程式の場合に粘性解の理論を用いて拡張し、不変な等位面を一つもつ解による球面の特徴付けを非線形の場合に与えた。(論文準備中)

  15. 非線形問題に対する有限要素法とその誤差解析の研究

    土屋 卓也, 鈴木 貴, 坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Ehime University

    2005年 ～ 2006年

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    平成17年度から18年度にかけて以下の研究を行い、成果を挙げてきた。 1.ダム問題と呼ばれる自由境界問題に対する反復スキームの収束について、その理論的枠組みを明らかにした。自由境界問題の解の存在証明では、レベルセット法と呼ばれるアプローチが理論的に優位だが、工学の現場では「試行自由境界法」などと呼ばれるより直感的なアプローチが取られえることが多い。しかし、この方法を数学的に厳密に解析することは難しく、これまでほとんど結果がなかった。この研究では、幾何学の極小曲面の手法を使うことにより、反復スキームの収束証明の枠組みを構築することに成功した(論文[1])。 2.ダム問題に対するよりよい反復スキームを設計するためには、自由境界をごくわずか変動させたときに、領域内の流れの速度ポテンシャルがどのように変わるかを定量的に把握する必要がある。このような、境界の摂動に関する変分をHadamard変分というが、最近速度ポテンシャルの第一変分を計算することに成功し、プレプリントにまとめた。 T.Suzuki, T.Tsuchiya, Weak formulation of Hadamard variation and its application to the filtration problem. 3.有界な区間上の2点境界値問題に対する区分2次の有限要素法の誤差解析を、「山本の原理」と呼ばれる手法を使って非常に精密に行うことに成功した。既存の結果が、たとえば係数関数が不連続な場合にも成り立つことを示すことができた(論文[2])。 4.行列の固有値と固有ベクトルを求める古典的Jacobi法の収束について、簡単な証明を見つけプレプリントにまとめた。 T.Tsuchiya, A note on convergence and a posteriori error estimate of the classical Jacobi method.

  16. 高階非線形常微分方程式に対する境界値問題

    内藤 学, 坂口 茂, 橋本 貴宏, 宇佐美 広介

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：EHIME UNIVERSITY

    2003年 ～ 2005年

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    本研究の目的は、高階常微分方程式に対する境界値問題の、解の存在性、解の一意性、解の零点の個数・分布等を調べることである。また、常微分方程式についての結果を念頭において、高階楕円型偏微分方程式の解(および、解の全体)についての詳しい情報を得ることである。 この研究によって得られた新しい結果、新しい知見は主として次の様なものである。 1.4階あるいは任意偶数階単独準線形常微分方程式を半無限区間で考察し、正値解が存在するための必要十分条件を得た(Nonlinear Analysis 57(2004)253-263; Math.Nachr. 279(2006)198-216; Ann.Mat.Pura Appl., Ser.IV (to appear))。また、2-system2階常微分方程式系および2-system2階楕円型方程式系をそれぞれ半無限区間および外部領域で考察し、終局的正値解の存在性を論じた(Indiana Univ.Math.J. 55(2006)317-340)。 2.任意の非線形項をもつ退化楕円型方程式を外部領域で考察し、すべての解が振動的であるための必要十分条件を得た(論文投稿中)。また、退化楕円型方程式を柱状領域で考察し、正値解の非存在性を論じた(Discrete and Contin.Dyn.Syst., Supplement, 2005,376-385)。 3.Euclid空間の領域の特性関数を初期値とする熱方程式の初期値問題において、不変な等温面について考察した(Trans.Amer.Math.Soc. (to appear))。また、Euclid空間の有界領域において、退化拡散と領域の形の関係について考察した(Proc.Roy.Soc.Edinburgh, Sect.A (to appear))。 4.或る高階常微分方程式に対して半無限区間における特異固有値問題を考察し、丁度n個の零点をもつ固有関数列の存在を示した(論文投稿中)。 5.重調和作用素を含む非線形4階楕円型方程式の解の存在と非存在についての結果を得た。(Discrete and Contin.Dyn.Syst., Supplement, 2003,393-402)。

  17. 混合境界条件を伴う制限付き変分問題の新展開 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Exploratory Research

    2002年4月 ～ 2004年3月

  18. 偏微分方程式の解の空間臨界点と零点の挙動 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Ehime University

    2000年4月 ～ 2003年3月

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    1.N次元ユークリッド空間の領域Ωにおいて、正定数を初期値とした熱方程式の初期斉次Dirichlet問題を考える。Ωの部分領域Dで内部円錐条件およびD^^-⊂Ωを満たすものを考える。このとき、解の一つの等温面∂Dが時刻について不変であるときどのようなことが起こっているかという問題について、次の2つの定理を得た。(i)Ωが外部球面条件を満たす有界領域または外部領域の場合、もし∂Dが不変な等温面ならば、∂Ωは一つの球面に限る。(ii)Ωを一様な外部球面条件を満たす非有界領域とする。また、空でない∂Ωの部分開集合でΩの外向き法線方向についての主曲率がすべて非負なものが存在し、さらに∂Ωは任意の半径の(N-1)次元球上のグラフをその一部に含むとする。このとき、もし∂Dが不変な等温面ならば、∂Ωは1つの超平面か2つの平行な超平面のどちらかに限る。 2.熱方程式の解のホットスポットに関して、ChamberlandとSiegel(1997)の予想がある。ユークリッド空間の原点を含む有界領域Ωにおいて初期斉次Dirichlet問題を考え、初期値として正定数を与えるとき、その予想は、『もし原点が常にホットスポットならば、領域Ωは、直交群のあるessentialな部分群Gの作用について不変である。』というものである。この予想について、空間次元が2のとき、次の4つの定理を得た。(i)Ωを三角形とするとき、もし原点が常にホットスポットならば、Ωは原点を中心とする正三角形に限る。(ii)Ωを凸四角形とするとき、もし原点が常にホットスポットならば、Ωは原点を中心とする平行四辺形に限る。(iii)もし原点が常にホットスポットならば、Ωは凹四角形ではない。(iv)Ωを凸m多角形(m=5,6)で、原点を中心とした内接円がすべての辺に接すると仮定する。このとき、もし原点が常にホットスポットならば、m=5のときΩは正五角形に限り、m=6のときΩは角度π/3,(2π)/3,πのどれかの回転対称性をもつ。

  19. 有限要素法の誤差解析の数学的理論

    土屋 卓也, 坂口 茂, 方 青

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Ehime University

    2002年 ～ 2003年

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    本年度(2003年度)では,有限要素法の誤差に関する基本的な問題について研究を行い,以下のような成果をあげた. (1)抽象的なHilbert空間,Banach空間において定義される線形方程式に,(非)線形compact項を付け加えた線形,あるは非線形問題を考える.そのような問題に対するGalerkin法の誤差解析が統一的な手法で扱えることを発見した. (2)「ダム問題」といわれる楕円型自由境界問題に対する「試行自由境界法」の厳密解への収束を,極小曲面の手法を使うことにより,数学的に厳密に証明した. (3)1次元有界区間上の2点境界値問題に対する区分2次有限要素法の剛性行列の逆行列の陽的公式を発見した.その公式を用いて,区分2次有限要素法の誤差について徹底的な解析を行った.その結果,主要項の係数関数の連続性や正値性が成り立たなくても,不連続点が有限要素の節点になってさえいたら,知られている誤差限界がすべて成り立つことがわかった.

  20. 非線形発展方程式及び非線形楕円型方程式の研究

    大谷 光春, 石井 仁司, 田中 和永, 山田 義雄, 坂口 茂, 鈴木 貴, 林 仲夫, 西原 健二

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Waseda University

    2000年 ～ 2003年

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    1)従来の方法では得られなかった、準線形放物型方程式の解の高い微分可能性を保証する「L^∞-エネルギー法」を開発した。この方法により、まず、充分一般的な二重非線形放物型方程式のリプシッツ連続な時間局所解の存在が示され(1996,2002)、さらには、1950年代以来、未解決であった「Porous Medium方程式はC^∞-級の時間局所解を許すか?」という問題が肯定的に解決されるという重要な知見が得られた(2001)。「L^∞-エネルギー法」は、これらの成果のみならず、いろいろな局面で応用可能な極めて有用な解析手段を与えていることを、現在進行中の研究が示唆している。 2)「劣微分作用素の非単調摂動理論」が、バナッハ空間上の枠組みへ拡大された。これにより、従来ガレルキン法で構成されていた退化放物型方程式の解の存在と正則性がより自然な枠組みで、より一般的な条件のもとで、議論できるようになり、いくつかの具体的な方程式に対して、従来の方法では解決できなかった未解決問題が解決された。 3)部分対称性を有するConcentration Compactness理論を構築した。コンパクト性の欠如した問題を解析する有力な方法として、Concentration Compactness理論が知られているが、一方で球対称性などの高い対称性がある場合には、コンパクト性が回復することが知られている。コンパクト性が回復しない程度の部分的対称性が存在する場合に、Concentration Compactness理論がどのように、その部分対称性を反映するかを解明した。この応用として、無限柱状領域において、臨界指数を越える非線形性をもつ楕円型方程式の非自明解の存在が示された。 4)「ある条件のもとでは、対称性をもつ部分空間での臨界点が、全体での臨界点を与える」というR.Palaisによる対称臨界性原理は、本来変分構造をもつ楕円型方程式に限られた理論であった。 この理論が、必ずしも変分構造をもたない楕円型方程式や時間発展を含むの発展方程式へ適用可能な一般的な理論に拡張された。これにより、従来の理論では不可能であった、放物型方程式や波動方程式への応用の道が開かれた。 5)劣微分作用素を含む多価写像に対する写像度の理論が構築された。これにより、従来ではカバーできなかった、種々の多価性をもつ非線形偏微分方程式への写像度の理論が適用可能になった。 6)劣微分作用素に対する非単調摂動理論を,マイクロポーラ電磁流体の初期値境界値問題及び時間周期問題などに適用できるように改良した。

  21. 高階非線形微分方程式の解の零点の個数に関する研究

    内藤 学, 宇佐美 広介, 橋本 貴宏, 坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：EHIME UNIVERSITY

    2001年 ～ 2002年

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    本研究の目的は、Emden-Fowler型の非線形項をもつ高階常微分方程式に対して、解の零点の個数・分布を調べることである。また、常微分方程式についての結果を念頭において、高階楕円型偏微分方程式の解の振動的性質を詳しく調べることである。 この研究によって得られた新しい結果、新しい知見は主として次の様なものである。 1.線形および劣線形高階常微分方程式に対して、半無限区間[a,+∞)における特異固有値問題を考察し、可算固有値列の存在と、対応して、丁度n個の零点をもつ固有関数列の存在を示した。 2.劣線形高階常微分方程式に対して、正則固有値問題を考察し、可算固有値列の存在と、対応して、丁度n個の零点をもつ固有関数列の存在を示した。 3.half-linear非線形2階常微分方程式の非振動解で、無限遠点である特別な漸近行動をするものの零点の個数は、パラメータとともに、丁度1個づつ変化していくことを明らかにした。 4.half-linear非線形2階常微分方程式に対して、正則固有値問題を考察し、Sturm-Liouville線形正則固有値問題の完全な拡張を得た。 5.4次元Emden-Fowler型常微分方程式系および4階Emden-Fowler型準線形常微分方程式に対して、非振動解の無限遠点での潮近挙動を詳しく論じ、ある特別な漸近挙動をする非振動解が存在するための必要十分条件およびすべての解が振動的であるための条件を樹立した。 6.2次元の半線形ラプラス型方程式系に対して、ある種のLiouville型定理を証明した。 7.重調和作用素を含む4階非線形楕円型方程式に対しても、解の存在と非存在について、2階方程式と類似に、内部問題/外部問題/全領域問題の相補性が成り立つことを明らかにした。

  22. 放物型方程式の解の空間臨界点と零点の挙動 競争的資金

    坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：Ehime University

    1998年4月 ～ 2000年3月

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    (1)拡散方程式の解の不変な等位面 ユークリッド空間内の有界リプシッツ領域上で熱方程式の初期斉次ノイマン問題を考えて、等温面たちが時刻について不変な解の精密な分類が、等温面たちの不変性をフルに使って、Levi-Civita(1937)とSegre(1938)によるユークリッド空間内のisoparametrlc hypersurfacesの分類定理を利用することにより得られた。またこの方法は今まで扱えなかった非線形の拡散方程式のporous medium方程式の初期境界値問題にも使えて等位面たちが時刻について不変な解の同様な分類定理を与える。 (2)1次元porous medium方程式の解の符号変化を伴うinterfacesの挙動 空間1次元のp-Laplacian(p>1)の発展方程式のコーシー問題および初期斉次デリクレ問題において、非負有界で台がコンパクトな初期値に対して、解の各時刻tごとの空間方向の臨界点の集合は有限時間後一点x(t)からなることが、以前の研究によって示されているが、ここでは、x(t)が有限時間後tについてC^1級になることが得られた。さらに、般化された空間1次元のporous medium方程式の解の符号変化を伴うinterface x=x(t)が高々一時刻を除いて、C^1級であることが示された。また、先の初期斉次デリクレ問題において、ある正定数β=β(p)についての極限値lim_t→∞x(t)t_<-β>の存在を示した。 (3)熱方程式の解の不変な空間臨界点と領域の対称性 空間2次元の有界単連結領域上の熱方程式の初期斉次デリクレ問題を考えて、リーマンの写像定理を用いた複素解析学による新しい方法によって、120度の回転対称性を持つ領域の不変な空間臨界点による特徴付けを与えた。(以前は、球と点対称領域のみ特徴付けがあった。)また、一般次元の球面および双曲空間上の熱方程式に対して、測地球や点対称な領域の不変な空間臨界点による特徴付けを得た。

  23. 高階微分方程式の解の振動的性質

    内藤 学, 宇佐美 広介, 橋本 貴宏, 坂口 茂

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

    研究機関：EHIME UNIVERSITY

    1999年 ～ 2000年

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    本研究の目的は、Emden-Fowler型の非線形項をもつ高階(2階を含む)常微分方程式に対して、その解の振動的性質すなわち解の零点の個数、分布などについて詳しく調べることである。また、常微分方程式についての結果を念頭において、高階楕円型偏微分方程式の解の振動的性質を詳しく調べることである。 2年間の研究によって得られた新しい結果、新しい知見は次の様なものである。 1.half-linear非線形2階常微分方程式に対して、正則固有値問題および特異固有値問題を考察し、Sturm-Liouville線形正則固有値問題の完全な拡張および類似を得た。 2.4次元Emden-Fowler型常微分方程式系(単独準線形4階方程式を含む)に対して、非振動解の無限遠点での漸近挙動を詳しく論じ、ある特別な漸近挙動をする非振動解が存在するための必要十分条件および非振動解が存在しないための必要十分条件を樹立した。 3.任意の非線形項をもつ高階常微分方程式を考察し、Kiguradzeクラスと呼ばれている正値解のクラスの解が存在するための必要十分条件を得た。 4.線形高階常微分方程式に対して、半無限区間[a,+∞)における特異固有値問題を考察し、可算固有値列の存在性と、n番目の固有関数は丁度n個の零点をもつことを明らかにした。 5.ある種の準線形2階常微分方程式の正値解の漸近形を完全に決定した。 6.準線形2階楕円型方程式のすべての解が振動的であるための条件を確立した。 7.2次元の半線形ラプラス型方程式系に対して、ある種のリューヴィル型定理を証明した。

  24. 非線形発展方程式と楕円形方程式の研究

    大谷 光春, 石井 仁司, 田中 和永, 山田 義雄, 坂口 茂, 鈴木 貴, 林 仲夫, 堤 正義

    提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

    制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

    研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

    研究機関：Waseda University

    1997年 ～ 1999年

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    楕円型方程式(I)方程式(E)-△u=|u|^<q-2>u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ω に対して,次の定理を得た. 「Ω=R^N＼B_R, B_R={x∈IR^N ; |x|【less than or equal】R}, 2^*<q<+∞(2^*は, ソボレフ型埋蔵H^1_0(Ω)⊂L^q(Ω)の臨界指数)とするとき, (E)はH^1(Ω)∩L^q(Ω)に属する(球対称)非自明解をもつ. 」1<q【less than or equal】2^*の場合には, 非自明解が存在しないことが既に知られており, 有界領域に対する既知の結果との双対性から, 予想されていた長年の未解決問題が肯定的に解決された有義は極めて大きい. (II)方程式(E)_λ-△u=λu+|u|^<q-2>u x∈Ω, u(x)=0 x∈∂Ωに対して: (1)Ω=Ω_d×R^<n-d>(R^Nの非有界柱状領域), q=2^*, d【greater than or equal】1, N【greater than or equal】4 とするとき, 任意のλ∈(0, λ_1), λ_1=inf_<v∈H^1_0>(Ω)‖∇u‖^2_L_2/‖u‖^2_L_2>0に対し, (E)_λは非自明解をもつ. この結果は, 有界領域に於けるBrezis-Nirenbergの結果の非有界柱状領域への拡張を与えている. (2)Ω=Ω_d×R^<N-d>, Ω_dをd-次元円環領域とするとき, q>N_d=2(N-d+1)/(N-d+1-2)ならば, (E)_λは非自明解(適当なクラスに属する弱解)を持たない. 2<q【less than or equal】2^*に対しては, (E)_λは非自明解をゆるすことが知られており, 2^*<q【less than or equal】N_dの場合が最近, 次のように解決された:(i)2^*<q【less than or equal】N_dの場合は, 解が存在し, (ii)q=N_dの場合は, 解が存在しない. 即ち, この事実から, 「領域のd次元対称性は, 実効的次元を(d-1)次元だけ減ずる効果をもたらす」ことが結論づけられた. (III)方程式(E)_1 -△u+u=a(x)|u|^<q-2>u+f(x) x∈IR^N, 2<q<2^* 0<a(x), |a(x)-1|【less than or equal】Ce^<λ|x|>, λ>0に対して, ‖f‖_<H-1(R^N)>が十分小さければ, (E)_1は少なくとも2つの正値解をもつ. さらに, f=0かつq<2^*が十分2^*に近い場合, 正値解の多重性が係数関数a(x)の最大値与える点xのなす集合の位相的性質(カテゴリー)に支配される現象が発見された. この現象は, 今後の進展が期待される重要な課題となろう. 放物型方程式 (I)porous medium方程式の弱解のHolder連続性が良く知られていたが, 滑らかな(局所)解の存在については, 長く, 未解決問題として残されていた. これに対し, 大谷-杉山により, より一般的な方程式に対して, Lipshitz連続な時間局所解が構成され, ここで開発された, L^∞-エネルギー評価法を発展させ, C^∞(IR^N)に属する局所解の存在が証明された. 長年の大きな未解決問題が解決された意義は極めて大きい. (II) (E)に対する, 非定常問題に対し, q=2^*のときの解の漸近挙動の決定は, 未解決の問題として残されていたが, 今回, 次のような手掛かりが得られた. 「q=2^*, Ω={x∈R^N;|x|<1}かつ, 解u(x, t)は正値, 球対称でr=|x|に関して単調減少ならば, 解は有限時間で爆発するか, または時間大域的に存在して, 次をみたす. 「ある点列{t_n}が存在して, 測度の意味で|∇u(x, t_n)|^2-C_0δ(0) (n-∞). |u(x, t_n)|^<2*>-C_0δ(0) (n-∞)」この結果, critical case(q = 2^*)では, デルタ関数がsubcritical case(q <2^*)の場合の定常解に相当していることを示す意味で, 大変重要な示唆を与えているが, 技術的な強い仮定を要する点で不満が残る. 自然な仮定のもとでの解決が, 今後の課題となろう. (III)2次元有界領域でのKeller-Segel方程式(粘菌の生態を記述する走化性方程式)に対する初期値・境界値問題の大域解の存在が示された. 更に, 孤立爆発点で解はデルタ関数的な特異性を持つ事を示された. この事実からも, (II)における問題との楕円型方程式を介した密接な関連性がうかがえる. この視点からの今後の研究が望まれる.

  25. 有限要素解に対する後験的誤差評価の研究

    土屋 卓也, 庭さき 隆, 方 青, 坂口 茂, 内藤 学, 山本 哲朗

    1996年 ～ 1996年

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    この一年間、主に、元の微分作用素はフレッシェ微分可能だが、有限要素法等で離散化する際、微分不可能な項が出てくるような非線形境界値問題に対しての、有限要素解の誤差評価を行った。例えば、流体の方程式であるナビア-ストークス方程式を離散化する際に、流れの上流の情報を下流の情報より重視するといった、いわゆる上流型有限要素法においてこのような状況が出てくる。 得られた結果は以下の通り:真の解がある程度滑らかなら、それに対する上流型有限要素法により定義される解は、真の解に近くに一意に存在し、適当な誤差評価を満たす。 この結果をまとめた次の論文を準備中で、今年度中に投稿する予定である。 N.Mastunaga,T.Tsuchiya Non-Differentiable Finite Element Approximations for Parametrized Strongly Nonlinear Boundary Value Problems また、1996年12月に龍谷大学で行われた応用数学合同研究集会で、同じ著者、題目で研究発表を行った。

  26. 非線形偏微分方程式論における実解析的方法

    鈴木 貴, 野倉 嗣紀, 方 青, 土屋 卓也, 山本 哲朗, 坂口 茂

    1994年 ～ 1994年

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    (1)弾性膜の自由境界問題を記述する平均曲率方程式についてnon-Newtonianの場合の非自明解の存在が変分法によりまたpondent dropの大域分岐図の無限図の揺れが常微分作用素の振動定理によって示された。 (2)2次元のSoboleo臨界を表わすTwdonger不等式と関係する半線形楕円型境界値問題の解の漸近挙動に関して、偏微分方程式固有の方法によって従来の結果が精密化され、変分問題に対して適用された。 (3)楕円型境界値問題の不安定な解を数値的に効率良く求める方法としてNehariの変分原理と関係する反復列が大変有効であることを理論的に解明し、数値計算によって実証した。

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