東北大学研究者紹介

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テラシマ　ユウジ

寺嶋　郁二

Yuji Terashima

所属

大学院理学研究科　数学専攻　幾何学講座

職名

教授

学位

博士（数理科学）

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https://researchmap.jp/read0163459

研究キーワード 1

トポロジー・数理物理

研究分野 1

自然科学一般 / 幾何学 /

論文 36

Homological blocks with simple Lie algebras and Witten-Reshetikhin-Turaev invariants

Yuya Murakami, Yuji Terashima

to appear in Communications in Mathematical Physics　2026年4月
Solutions of Tetrahedron Equation from Quantum Cluster Algebra Associated with Symmetric Butterfly Quiver

Rei Inoue, Atsuo Kuniba, Xiaoyue Sun, Yuji Terashima, Junya Yagi

Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications　2024年12月21日
出版者・発行元： SIGMA (Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Application)
DOI： 10.3842/sigma.2024.113 　

eISSN：1815-0659

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We construct a new solution to the tetrahedron equation by further pursuing the quantum cluster algebra approach in our previous works. The key ingredients include a symmetric butterfly quiver attached to the wiring diagrams for the longest element of type $A$ Weyl groups and the implementation of quantum $Y$-variables through the $q$-Weyl algebra. The solution consists of four products of quantum dilogarithms. By exploring both the coordinate and momentum representations, along with their modular double counterparts, our solution encompasses various known three-dimensional (3D) $R$-matrices. These include those obtained by Kapranov-Voevodsky (1994) utilizing the quantized coordinate ring, Bazhanov-Mangazeev-Sergeev (2010) from a quantum geometry perspective, Kuniba-Matsuike-Yoneyama (2023) linked with the quantized six-vertex model, and Inoue-Kuniba-Terashima (2023) associated with the Fock-Goncharov quiver. The 3D $R$-matrix presented in this paper offers a unified perspective on these existing solutions, coalescing them within the framework of quantum cluster algebra.
On the Burde–de Rham Theorem for Finitely Presented Pro-p Groups

Yasushi Mizusawa, Ryoto Tange, Yuji Terashima

International Mathematics Research Notices　2025　(1)　2024年12月9日
出版者・発行元： Oxford University Press (OUP)
DOI： 10.1093/imrn/rnae267 　

eISSN：1687-0247

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Abstract We consider the Burde–de Rham theorem for finitely presented pro-$p$ groups under the assumption that the total degrees of all relators are $0$. We also give some concrete examples including higher-dimensional cases under Iwasawa theoretic conditions, and consider some cohomological interpretations.
The Heisenberg double of involutory Hopf algebras and invariants of closed 3–manifolds

Serban Matei Mihalache, Sakie Suzuki, Yuji Terashima

Algebraic & Geometric Topology　24　(7)　3669-3691　2024年12月9日
出版者・発行元： Mathematical Sciences Publishers
DOI： 10.2140/agt.2024.24.3669 　

ISSN：1472-2747

eISSN：1472-2739
Discrete higher Berry phases and matrix product states

Shuhei Ohyama, Yuji Terashima, Ken Shiozaki

Physical Review B　110　(3)　2024年7月
出版者・発行元： American Physical Society (APS)
DOI： 10.1103/physrevb.110.035114 　

ISSN：2469-9950

eISSN：2469-9969
Quantum Cluster Algebras and 3D Integrability: Tetrahedron and 3D Reflection Equations

Rei Inoue, Atsuo Kuniba, Yuji Terashima

International Mathematics Research Notices　2024　(16)　11549-11581　2024年6月17日
出版者・発行元： Oxford University Press (OUP)
DOI： 10.1093/imrn/rnae128 　

ISSN：1073-7928

eISSN：1687-0247

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Abstract We construct a new solution to the tetrahedron equation and the three-dimensional (3D) reflection equation by extending the quantum cluster algebra approach by Sun and Yagi concerning the former. We consider the Fock–Goncharov quivers associated with the longest elements of the Weyl groups of type $A$ and $C$, and investigate the cluster transformations corresponding to changing a reduced expression into a “most distant” one. By devising a new realization of the quantum $y$-variables in terms of $q$-Weyl algebra, the solutions are extracted as the operators whose adjoint actions yield the cluster transformations of the quantum $y$-variables. Explicit formulas of their matrix elements are also derived for some typical representations.
Modular Transformations of Homological Blocks for Seifert Fibered Homology 3-Spheres

Toshiki Matsusaka, Yuji Terashima

Communications in Mathematical Physics　405　(2)　2024年2月19日
出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC
DOI： 10.1007/s00220-024-04939-2 　

ISSN：0010-3616

eISSN：1432-0916
Tetrahedron equation and quantum cluster algebras

Rei Inoue, Atsuo Kuniba, Yuji Terashima

Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical　57　(8)　085202-085202　2024年2月8日
出版者・発行元： IOP Publishing
DOI： 10.1088/1751-8121/ad2224 　

ISSN：1751-8113

eISSN：1751-8121

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Abstract We develop the quantum cluster algebra approach recently introduced by Sun and Yagi to investigate the tetrahedron equation, a three-dimensional generalization of the Yang-Baxter equation. In the case of square quiver, we devise a new realization of quantum Y-variables in terms q-Weyl algebras and obtain a solution that possesses three spectral parameters. It is expressed in various forms, comprising four products of quantum dilogarithms depending on the signs in decomposing the quantum mutations into the automorphism part and the monomial part. For a specific choice of them, our formula precisely reproduces Sergeev’s R matrix, which corresponds to a vertex formulation of the Zamolodchikov-Bazhanov-Baxter model when q is specialized to a root of unity.
On Adjoint Homological Selmer Modules for SL(2)-Representations of Knot Groups

Takahiro Kitayama, Masanori Morishita, Ryoto Tange, Yuji Terashima

International Mathematics Research Notices　2023　(23)　19801-19826　2022年9月22日
出版者・発行元： Oxford University Press (OUP)
DOI： 10.1093/imrn/rnac255 　

ISSN：1073-7928

eISSN：1687-0247

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Abstract We introduce the adjoint homological Selmer module for an $\textrm {SL}_2$-representation of a knot group, which may be seen as a knot theoretic analogue of the dual adjoint Selmer module for a Galois representation. We then show finitely generated torsion-ness of our adjoint Selmer module, which are widely known as conjectures in number theory, and give some concrete examples.
Arithmetic Orr Invariants of Absolute Galois Groups 査読有り

Hisatoshi Kodani, Yuji Terashima

International Mathematics Research Notices　138　2022年6月13日
出版者・発行元： Oxford University Press (OUP)
DOI： 10.1093/imrn/rnac138 　

ISSN：1073-7928

eISSN：1687-0247

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Abstract Based on the analogies between mapping class groups and absolute Galois groups, we introduce an arithmetic pro-$\ell $ analogue of Orr invariants for a Galois element associated with Galois action on étale fundamental groups of punctured projective lines. At the same time, we also introduce pro-$\ell $ Orr space as an arithmetic analogue of Orr space whose third homotopy group is a target group of Orr invariant. We then determine its rank as $\mathbb {Z}_{\ell }$-module following Igusa–Orr’s computation. Moreover, we investigate its relation with Ellenberg’s obstruction to $\pi _1$-sections associated with lower central series filtration in the context of Grothendieck’s section conjecture.
The colored Jones polynomials as vortex partition functions 査読有り

Masahide Manabe, Seiji Terashima, Yuji Terashima

Journal of High Energy Physics　2021　(12)　2021年12月
出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC
DOI： 10.1007/jhep12(2021)197 　

eISSN：1029-8479

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<title>A<sc>bstract</sc> </title>We construct 3D <inline-formula><alternatives><tex-math>$$ \mathcal{N} $$</tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math></alternatives></inline-formula> = 2 abelian gauge theories on <inline-formula><alternatives><tex-math>$$ \mathbbm{S} $$</tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math></alternatives></inline-formula>² × <inline-formula><alternatives><tex-math>$$ \mathbbm{S} $$</tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math></alternatives></inline-formula>¹ labeled by knot diagrams whose K-theoretic vortex partition functions, each of which is a building block of twisted indices, give the colored Jones polynomials of knots in <inline-formula><alternatives><tex-math>$$ \mathbbm{S} $$</tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math></alternatives></inline-formula>³. The colored Jones polynomials are obtained as the Wilson loop expectation values along knots in SU(2) Chern-Simons gauge theories on <inline-formula><alternatives><tex-math>$$ \mathbbm{S} $$</tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>S</mml:mi> </mml:math></alternatives></inline-formula>³, and then our construction provides an explicit correspondence between 3D <inline-formula><alternatives><tex-math>$$ \mathcal{N} $$</tex-math><mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>N</mml:mi> </mml:math></alternatives></inline-formula> = 2 abelian gauge theories and 3D SU(2) Chern-Simons gauge theories. We verify, in particular, the applicability of our constructions to a class of tangle diagrams of 2-bridge knots with certain specific twists.
Witten–Reshetikhin–Turaev Function for a Knot in Seifert Manifolds 査読有り

Hiroyuki Fuji, Kohei Iwaki, Hitoshi Murakami, Yuji Terashima

Communications in Mathematical Physics　2021年3月
出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC
DOI： 10.1007/s00220-021-03953-y 　

ISSN：0010-3616

eISSN：1432-0916
Cluster variables, ancestral triangles and Alexander polynomials 査読有り

Wataru Nagai, Yuji Terashima

Advances in Mathematics　363　106965-106965　2020年3月
出版者・発行元： Elsevier BV
DOI： 10.1016/j.aim.2019.106965 　

ISSN：0001-8708
Hyperbolic 3-manifolds and cluster algebras 査読有り

Kentaro Nagao, Yuji Terashima, Masahito Yamazaki

Nagoya Mathematical Journal　235　1-25　2019年9月
出版者・発行元： Cambridge University Press (CUP)
DOI： 10.1017/nmj.2017.39 　

ISSN：0027-7630

eISSN：2152-6842

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We advocate the use of cluster algebras and their <inline-formula> <alternatives><inline-graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" mime-subtype="gif" xlink:href="S0027763017000393_inline1" xlink:type="simple" /><tex-math>$y$</tex-math></alternatives> </inline-formula>-variables in the study of hyperbolic 3-manifolds. We study hyperbolic structures on the mapping tori of pseudo-Anosov mapping classes of punctured surfaces, and show that cluster <inline-formula> <alternatives><inline-graphic xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" mime-subtype="gif" xlink:href="S0027763017000393_inline2" xlink:type="simple" /><tex-math>$y$</tex-math></alternatives> </inline-formula>-variables naturally give the solutions of the edge-gluing conditions of ideal tetrahedra. We also comment on the completeness of hyperbolic structures.
Quiver Mutation Sequences and q-Binomial Identities 査読有り

Akishi Kato, Yuma Mizuno, Yuji Terashima

International Mathematics Research Notices　2018　(23)　7335-7358　2018年12月
出版者・発行元： Oxford University Press (OUP)
DOI： 10.1093/imrn/rnx108 　

ISSN：1073-7928

eISSN：1687-0247
On certain L-functions for deformations of knot group representations 査読有り

Takahiro Kitayama, Masanori Morishita, Ryoto Tange, Yuji Terashima

Transactions of the American Mathematical Society　370　(5)　3171-3195　2017年11月
出版者・発行元： American Mathematical Society (AMS)
DOI： 10.1090/tran/7037 　

ISSN：0002-9947

eISSN：1088-6850
p-Johnson homomorphisms and pro-p groups 査読有り

Masanori Morishita, Yuji Terashima

Journal of Algebra　479　102-136　2017年6月
出版者・発行元： Elsevier BV
DOI： 10.1016/j.jalgebra.2017.01.028 　

ISSN：0021-8693
On the universal deformations for ${\rm SL}_2$-representations of knot groups 査読有り

Masanori Morishita, Yu Takakura, Yuji Terashima, Jun Ueki

Tohoku Mathematical Journal　69　(1)　67-84　2017年4月
出版者・発行元： Mathematical Institute, Tohoku University
DOI： 10.2748/tmj/1493172129 　

ISSN：0040-8735
Arithmetic Topology in Ihara Theory 査読有り

Hisatoshi Kodani, Masanori Morishita, Yuji Terashima

Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences　53　(4)　629-688　2017年
出版者・発行元： European Mathematical Society Publishing House
DOI： 10.4171/prims/53-4-6 　

ISSN：0034-5318
Characteristic classes of fiber bundles 査読有り

Takahiro Matsuyuki, Yuji Terashima

Algebraic and Geometric Topology　16　(5)　3029-3050　2016年

DOI： 10.2140/agt.2016.16.3029 　

ISSN：1472-2739
Quantum Dilogarithms and Partition q-Series 査読有り

Akishi Kato, Yuji Terashima

Communications in Mathematical Physics　338　(1)　457-481　2015年8月

DOI： 10.1007/s00220-015-2323-y 　

ISSN：0010-3616

eISSN：1432-0916
Quiver Mutation Loops and Partition q-Series 査読有り

Akishi Kato, Yuji Terashima

Communications in Mathematical Physics　336　(2)　811-830　2015年6月
出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC
DOI： 10.1007/s00220-014-2224-5 　

ISSN：0010-3616

eISSN：1432-0916
Torsion functions on moduli spaces in view of the cluster algebra 査読有り

Takahiro Kitayama, Yuji Terashima

Geometriae Dedicata　175　(1)　125-143　2015年4月
出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC
DOI： 10.1007/s10711-014-0032-x 　

ISSN：0046-5755

eISSN：1572-9168
N=2 theories from cluster algebras 査読有り

Y. Terashima, M. Yamazaki

Progress of Theoretical and Experimental Physics　2014　(2)　23B01　2014年2月1日
出版者・発行元： Oxford University Press (OUP)
DOI： 10.1093/ptep/ptt115 　

eISSN：2050-3911
Semiclassical analysis of the 3d/3d relation 査読有り

Yuji Terashima, Masahito Yamazaki

Physical Review D　88　(2)　2013年7月18日
出版者・発行元： American Physical Society (APS)
DOI： 10.1103/physrevd.88.026011 　

ISSN：1550-7998

eISSN：1550-2368
Emergent 3-Manifolds from Four Dimensional Superconformal Indices 査読有り

Yuji Terashima, Masahito Yamazaki

Physical Review Letters　109　(9)　2012年8月28日
出版者・発行元： American Physical Society (APS)
DOI： 10.1103/physrevlett.109.091602 　

ISSN：0031-9007

eISSN：1079-7114
SL(2,R) Chern-Simons, Liouville, and gauge theory on duality walls 査読有り

Yuji Terashima, Masahito Yamazaki

Journal of High Energy Physics　2011　(8)　2011年8月
出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC
DOI： 10.1007/jhep08(2011)135 　

eISSN：1029-8479
Chern-Weil Construction for Twisted K-Theory 査読有り

Kiyonori Gomi, Yuji Terashima

Communications in Mathematical Physics　299　(1)　225-254　2010年10月

DOI： 10.1007/s00220-010-1080-1 　

ISSN：0010-3616
Discrete Torsion Phases as Topological Actions 査読有り

Kiyonori Gomi, Yuji Terashima

Communications in Mathematical Physics　287　(3)　889-901　2009年5月
出版者・発行元： Springer Science and Business Media LLC
DOI： 10.1007/s00220-009-0736-1 　

ISSN：0010-3616

eISSN：1432-0916
Chern-Simons variation and Deligne cohomology 査読有り

Masanori Morishita, Yuji Terashima

Contemporary Mathematics　484　127-134　2009年
On Poisson functions 査読有り

Yuji Terashima

JOURNAL OF SYMPLECTIC GEOMETRY　6　(1)　1-7　2008年3月

ISSN：1527-5256

eISSN：1540-2347
Geometry of polysymbols 査読有り

Masanori Morishita, Yuji Terashima

MATHEMATICAL RESEARCH LETTERS　15　(1)　95-115　2008年1月

ISSN：1073-2780
ARITHMETIC TOPOLOGY AFTER HIDA THEORY 査読有り

Masanori MORISHITA, Yuji TERASHIMA

Intelligence of Low Dimensional Topology 2006, Knots and Everything Series, World Scientific　213-222　2007年5月
出版者・発行元： WORLD SCIENTIFIC
DOI： 10.1142/9789812770967_0027 　
Higher dimensional parallel transports for Deligne cocycles 査読有り

Yuji Terashima

Contemporary Mathematics　309　291-312　2002年
出版者・発行元：
DOI： 10.1090/conm/309 　

ISSN：0271-4132

eISSN：1098-3627
Higher-dimensional parallel transports 査読有り

Kiyonori Gomi, Yuji Terashima

Mathematical Research Letters　8　(1)　25-33　2001年
出版者・発行元： International Press of Boston
DOI： 10.4310/mrl.2001.v8.n1.a4 　

ISSN：1073-2780

eISSN：1945-001X
A fiber integration formula for the smooth Deligne cohomology 査読有り

Kiyonori Gomi, Yuji Terashima

International Mathematics Research Notices　2000　(13)　699-699　2000年
出版者・発行元： Oxford University Press (OUP)
DOI： 10.1155/s1073792800000386 　

ISSN：1073-7928

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共同研究・競争的資金等の研究課題 11

量子モジュラー形式の深化と展開

樋上和弘, 村上斉, 藤博之, 寺嶋郁二

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

研究機関：Kyushu University

2022年4月1日～ 2027年3月31日

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(1) 量子モジュラー形式はこれまでに無かった概念であり、結び目や3次元多様体の量子不変量が量子モジュラー性をもつとされる。よく知られている例がトーラス結び目の色つきJones多項式やSeifert多様体のWitten-Reshetikhin-Turaev(WRT)不変量などであるが、実際に量子モジュラー性を示すのは困難が多く、漸近極限を調べることが大変有用となる。当該年度はトーラス結び目のDehn手術から得られる多様体のWRT不変量を漸近極限を詳細に解析し、Chern-Simons不変量やReidemeister捩れとの関係を明らかにした。 (2) 双曲結び目の不変量の量子モジュラー性の解析には状態積分が有用である。これまでに研究されていないものも含めた幾つかの結び目について解析を進めている。特に、位相的漸化式や厳密WKB法などさまざまな手法の有用性を試みている。 (3) トーラス結び目の色つきJones多項式は偽テータ関数と非常に相性が良い。擬テータ関数は頂点作用素代数にも現れるため、量子モジュラー性の解明には頂点作用素代数の手法も有用であるものと期待される。当該年度において、(s,t)対数型頂点作用素代数の指標が(2s,2t)トーラス絡み目の色つきJones多項式とが一致することを、学振特別研究員との共同研究で見いだした。また、色つきJones多項式の「しっぽ」と呼ばれる部分と指標との関連性も指摘した。 (4) 当該年度には二重アフィンヘッケ代数を用いた量子不変量の再構成についての研究をひきつづき行った。
量子モジュラー形式の深化と展開

樋上和弘, 藤博之, 村上斉, 寺嶋郁二

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

研究機関：Kyushu University

2022年4月1日～ 2027年3月31日
二次特性類と多重対数関数の幾何

寺嶋郁二

2021年4月1日～ 2025年3月31日

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トポロジー，数理物理，数論をつなげる研究を推進し，その成果として真鍋征秀氏・寺嶋靖治氏との共同研究において，ボーテックス分配関数として結び目の色つきジョーンズ多項式を与える新しい超対称ゲージ理論を構成した論文を M. Manabe, S. Terashima, Y. Terashima, The colored Jones polynomials as vortex partition functions, arXiv:2110.05662, JHEP (2021), no. 12, Paper No. 197 として公表し，学術論文誌に掲載された．また，小谷久寿氏との共同研究において，写像類群と絶対ガロア群の類似に基づいて，トポロジーにおけるOrr不変量の数論版を導入し，その性質を調べた論文が H. Kodani, Y. Terashima, Arithmetic Orr invariants of absolute Galois groups, to appear in IMRN として学術論文誌に掲載されることになった．これらはトポロジーと数理物理の橋渡しになる結果であり，さらに深めていきたい．
二次特性類の幾何

寺嶋郁二

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

2017年4月1日～ 2021年3月31日

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研究代表者は，トポロジー，数理物理，数論をつなげる研究を推進し，永井渡氏との共同研究で，クラスター変数の特殊化と二橋結び目のアレクサンダー多項式との一致を示すことができた．また，Junhyeong Kim・森下昌紀・野田健夫氏との共同研究で，3次元多様体上の葉層構造と数体との類似を追及し，Beilinson, Bloch , Deligne 氏らのリーマン面における相互律を一般化する数論トポロジーでの結果を得た．また，藤博之・岩木耕平・村上斉氏との共同研究でWRT関数を導入しザイフェルト・ループのWRT不変量たちを1のべき根たちへの特殊化で復元することを示すことができた．
二次特性類の幾何学

寺嶋郁二

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：Tokyo Institute of Technology

2013年4月1日～ 2017年3月31日

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研究代表者は山崎雅人氏との共同研究で提案した新しい3次元ゲージ理論の分配関数の本質的な情報を数学的に厳密な方法で取り出すことを一つの動機として，加藤晃史氏との共同研究で，クイバーのミューテーションの列について，分配級数という新しい量を導入し，その基本性質を示した．特に，ディンキン型またはその積の特別なミューテーションの列について，分配級数がアフィンリー環の表現の指標の和のフェルミオン表示に一致していることを示した．また，ミューテーションの終赤列について分配級数の次数付き版が本質的に組合せ的ドナルドソン・トーマス不変量と一致していることを示すことができた．
二次特性類の明示的な構成

寺嶋郁二

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Young Scientists (B)

研究機関：Tokyo Institute of Technology

2010年～ 2012年

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研究代表者は2011年に山崎雅人氏との共同研究で、3次元のゲージ理論と3次元の双曲多様体論の新しい物理的な関係を発見した.その結果を論文としてまとめて、専門誌にY.TerashimaandM.Yamazaki,SL(2,R)Chern-Simons,Liouville,andGaugeTheoriesonDualityWalls,JHEP,1108,135.(2011)として公表した。これに続いて、山崎氏との共同研究で、4次元のゲージ理論における指数と(境界つきの)3次元双曲多様体の体積の関係を発見し、その結果を論文としてまとめて、専門誌にY.Terashima,M.Yamazaki,Emergent3-manifoldsfromfourdimensionalsuperconformalindices,Phys.Rev.Lett.,109,(2012)091602.として公表した。この関係は新しい数学的な様々な結果を示唆している.
数論的位相幾何学の育成

森下昌紀, 田口雄一郎, 栗原将人, 藤井道彦, 寺嶋郁二, 田口雄一郎, 栗原将人, 藤井道彦, 寺嶋郁二

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：Kyushu University

2007年～ 2008年

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結び目と素数、3次元多様体と整数環の類似性に基づき、結び目理論と数論の間の相互啓発的研究 - 数論的位相幾何学 - を行った。これに関し、数論的位相幾何学における初めての本を著し、当分野の基礎付けを与えた。また、これにより、双方の分野に新しい視点と問題意識を提供した。
中興束の幾何学とその無限小としての超多様体上のホモロジーベクトル場

寺嶋郁二

2005年～ 2008年

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ホモロジーベクトル場を用いて,準ポアソン構造と捩れポアソン構造を含むより統一的な構造を幾何的に捕らえることができたので,その変形理論を展開している.特に,モジュライ空間上に自然な平坦束を得ることができた.現在,その平坦束のホロノミーの幾何的な意味を明確にすることは興味深い問題であると考えている.さらに,梶浦宏成氏との共同研究で得られたホモロジーベクトル場の変形理論の一般論と組み合わせることで,より深い情報が得られることが分かりつつある. 具体的な例として,リー群の自分自身への共役作用からくる準ポアソン構造の場合に何が起こるのかをはっきり捕らえたい.五味清紀氏との共同研究によって, C.Vafaが発見した軌道体モデルにあらわれる離散トーション位相が高次のホロノミーとして幾何的に自然に解釈されることを示すことができたので,M. Douglasらによって指摘されている離散トーション位相と非可換幾何学との関係を具体的な例について,調べている.重要な点として,離散トーション位相はもともと有限群の作用についての理論であったが,私たちの仕事によってリー群の作用を含む一般の場合についても同様の理論が展開できることになったことがある.したがって,私たちの仕事を利用して, M.Douglasらの仕事の適切な一般化を見出すことは,非可換幾何学の一つのアプローチとして興味深いと考えている.
数論的位相幾何学の基礎づけと育成

森下昌紀, 田口雄一郎, 栗原将人, 藤井道彦, 寺嶋郁二, 河野俊丈

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (C)

研究機関：KYUSHU UNIVERCITY

2005年～ 2006年

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結び目と素数の類似に基き、結び目理論(3次元位相幾何学)と整数論の間の相互啓発的な研究を行った。具体的な研究内容、成果は次の通り。・結び目群の2次元表現類の空間(双曲結び目補空間の双曲構造の変形空間)と素数群の2次元表現の変形空間の間の類似性を示した。これに基づき、SL_2(C)Chern-Simons不変量の変動とP進保型L関数の類似性を示した。特にChern-Simons不変量のDeligneコホモロジーによる解釈を与えた。これについて論文1篇を著し、2006年7月広島大、9月Max Plank研究所(ドイツ)、12月京都大において、研究発表を行った。・絡み目の高次まつわり数の類似物をRiemann面上の関数たちに対して、DeligneコホモロジーのMassey積を用いて導入し、その幾何学的構成、諸性真を与えた(手嶋郁二氏との共同研究)。また、朝倉政典氏(九州大)の協力を得て、ボロミアン絡み目の類似をみなせるRiemann面上の3関数の例を得た。これについて論文を著した。
低次元トポロジーに現れる種々の不変量の研究

村上斉, 寺嶋郁二, 石川昌治, 北野晃朗, 牛島顕, 遠藤久顕

提供機関：Japan Society for the Promotion of Science

制度名：Grants-in-Aid for Scientific Research

研究種目：Grant-in-Aid for Scientific Research (B)

研究機関：Tokyo Institute of Technorogy

2003年～ 2006年

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近年,結び目に関する体積予想とその様々な拡張について研究している. 体積予想とは,結び目の色付きJones多項式のある種の極限が,その結び目の補空間の体積を決定するであろうというものである.この際,「色」Nを持つ色付きJones多項式のパラメタにexp(2πi/N)を代入したのちNを無限大にするような極限を考えるのである.これまでの研究においてパラメタをexp(a/N)とおいてaを様々に変化させた極限をとることにより,結び目補空間のみならず,その結び目からDehn手術を施して得られる閉3次元多様体の体積やChern-Simons不変量をも決定するであろう,という形に体積予想は拡張された. 今年度の研究では,極限だけでなく色付きJones多項式(の対数)をNに関して漸近展開したときの各係数がどのようになるかを考察した.Nの係数が体積とChern-Simons不変量を決定するだろう,というのが体積予想(とその一般化)である. S.Gukov氏との共同研究により,次のような新たな予想を提唱した. 1.log Nの係数は結び目群からSL(2,C)への表現によって捻られたcohomology群の次元によって決まるであろう. 2.定数項は結び目群からSL(2,C)への表現に対応したReidemeister torsionによって決まるであろう. 上記の予想は,これまでの体積予想(とその一般化)にも新たな知見を加えるものである.なお,いくつかの結び目に関しては,コンピュータ実験によりこの予想がある程度正しいことが観察されている.
非線形シグマ模型における位相不変量とアフィン・リー環の表現論

寺嶋郁二

2001年～ 2004年

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ドリーニュ・コホモロジーのコチェインのレベルの転入写像を与えられた多様体が境界をもたない場合に適用し、高次のホロノミーのホロノミーの概念を得て、チーガー・サイモンズの微分指標群とドリーニュ・コホモロジーの同型を具体的に与えることができた。この同型は、古典的なホロノミーが一次元の微分指標の典型的な例であるというCheeger-Simonsが指摘した観点を高次元に拡張するものとして考えられる。古典的な場合との違いは、局所的に微分方程式を解くことで高次元のホロノミーを得ることが出来ない点にある。つまり、古典的な場合は閉曲線を小さな閉区間に分け局所的に微分方程式を解くことでホロノミーを得ることができたが、一般の多様体を細かく分ける方法は多様で、しかもその過程で様々な多様体が'局所的'に現れる。それらの'局所的'な対象を同時に扱うための道具としてドリーニュ・コチェインの転入写像を導入した。構成におけるアイデアは、単体分割の最高次数の各単体についての局所的な寄与を足しあげて得られる微分形式の積分の概念を拡張し、各フラッグについての寄与を足しあげ、それと高次のホモトピー作用素を組み合わせることにあり、それを精密化することで滑らかな空間への拡張を得た。これらの結果をContemp. Math.に掲載した。これに関連して、次数3のドリーニュ・コホモロジー類に対応する幾何的な対象である接続つきの主圏束の'無限小'として考えられるホモロジカル関数の変形理論を用いて準ポアソン構造と捩れポアソン構造を統一的に解釈できた。これらの結果を研究集会『接触構造、特異点と関連分野』で発表した。

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